Számítások az elméleti mechanikában. Elméleti és analitikai mechanika. Anyagi pont mozgásának differenciálegyenleteinek integrálása változó erők hatására

Tartalom

Kinematika

Anyagpont-kinematika

Egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározása az adott mozgásegyenletek alapján

Adott: Egy pont mozgásegyenletei: x = 12 sin (πt / 6), cm; y = 6 cos 2 (πt / 6), cm.

Állítsa be a pályájának típusát és a t = időpillanatot 1 s keresse meg egy pont helyzetét a pályán, sebességét, teljes, érintőleges és normál gyorsulását, valamint a pálya görbületi sugarát.

Merev test transzlációs és forgó mozgása

Adott:
t = 2 s; r 1 = 2 cm, R 1 = 4 cm; r 2 = 6 cm, R 2 = 8 cm; r 3 = 12 cm, R 3 = 16 cm; s 5 = t 3 - 6t (cm).

Határozzuk meg t = 2 időpontban az A, C pontok sebességét; a 3. kerék szöggyorsulása; B pont gyorsulás és személyzeti gyorsulás 4.

Egy síkmechanizmus kinematikai elemzése

Adott:
R 1, R 2, L, AB, ω 1.
Keresse meg: ω 2.

A lapos szerkezet 1, 2, 3, 4 rudakból és E csúszdából áll. A rudak hengeres csuklópántokkal vannak összekötve. A D pont az AB rúd közepén található.
Adott: ω 1, ε 1.
Keresse meg: V A, V B, V D és V E sebességeket; szögsebességek ω 2, ω 3 és ω 4; gyorsulás a B; szöggyorsulás ε AB link AB; a mechanizmus 2. és 3. láncszemeinek P 2 és P 3 pillanatnyi sebességközéppontjainak helyzete.

Egy pont abszolút sebességének és abszolút gyorsulásának meghatározása

A téglalap alakú lemez egy rögzített tengely körül forog a φ = törvény szerint 6 t 2 - 3 t 3... A φ szög pozitív irányát az ábrákon ívnyil mutatják. OO forgástengely 1 a lemez síkjában fekszik (a lemez a térben forog).

Az M pont a BD egyenes mentén mozog a lemezen. Relatív mozgásának törvénye adott, azaz az s = AM = függés 40 (t - 2 t 3) - 40(s - centiméterben, t - másodpercben). Távolság b = 20 cm... Az ábrán az M pont olyan helyzetben látható, ahol s = AM > 0 (S-nek< 0 Az M pont az A) pont másik oldalán van.

Határozzuk meg az M pont abszolút sebességét és abszolút gyorsulását t időpontban! 1 = 1 s.

Dinamika

Anyagi pont mozgásának differenciálegyenleteinek integrálása változó erők hatására

Egy m tömegű D terhelés, amely az A pontban V 0 kezdősebességet kapott, egy függőleges síkban elhelyezkedő íves ABC csőben mozog. Az AB szakaszon, melynek hossza l, a terhelésre egy állandó T erő (iránya az ábrán látható) és a közeg R ellenállási ereje hat (ennek az erőnek a modulusa R = μV 2, a R vektor a terhelés V fordulatszámával ellentétes irányú).

A terhelés, miután befejezte mozgását az AB szakaszon, a cső B pontjában, anélkül, hogy a sebesség modulus értékét megváltoztatná, a BC szakaszra megy. A BC szelvényben a terhelésre egy F változó erő hat, amelynek az x tengelyre vetített F x vetülete adott.

A terhelést anyagi pontnak tekintve keresse meg mozgásának törvényét a BC szakaszon, i.e. x = f(t), ahol x = BD. Hagyja figyelmen kívül a cső terhelésének súrlódását.

Töltse le a probléma megoldását

Tétel egy mechanikai rendszer mozgási energiájának változásáról

A mechanikus rendszer 1 és 2 súlyokból, 3 hengeres görgőből, kétfokozatú 4 és 5 szíjtárcsákból áll. A rendszer testei a tárcsákra tekercselt menetekkel vannak összekötve; a menetszakaszok párhuzamosak a megfelelő síkkal. A görgő (tömör, homogén henger) csúszás nélkül gördül a referenciasíkon. A 4 és 5 szíjtárcsák lépcsőinek sugara rendre: R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Az egyes szíjtárcsák tömegét egyenletesen elosztottnak tekintjük. külső perem... Az 1-es és 2-es súlyok támaszsíkjai durvák, a csúszósúrlódási együttható minden egyes terhelésnél f = 0,1.

Az F erő hatására, amelynek modulusa az F = F (s) törvény szerint változik, ahol s az alkalmazási pont elmozdulása, a rendszer nyugalmi állapotból elindul. Amikor a rendszer mozog, az 5 szíjtárcsára ellenállási erők hatnak, amelyeknek a forgástengelyhez viszonyított nyomatéka állandó és egyenlő M 5-tel.

Határozzuk meg a 4 szíjtárcsa szögsebességének értékét abban az időpontban, amikor az F erő alkalmazási pontjának s elmozdulása s 1 = 1,2 m lesz.

Töltse le a probléma megoldását

A dinamika általános egyenletének alkalmazása mechanikai rendszer mozgásának vizsgálatára

A mechanikus rendszerhez határozza meg a lineáris gyorsulást a 1. Tegyük fel, hogy a tömbök és görgők tömege a külső sugár mentén oszlik el. A kötelek és övek súlytalanok és nyújthatatlanok; nincs csúszás. A gördülési és csúszási súrlódást figyelmen kívül kell hagyni.

Töltse le a probléma megoldását

A d'Alembert-elv alkalmazása egy forgó test támaszai reakcióinak meghatározására

Az ω = 10 s -1 szögsebességgel egyenletesen forgó AK függőleges tengelyt az A pontban nyomócsapágy, a D pontban pedig hengeres csapágy rögzíti.

A tengelyhez mereven van rögzítve egy l 1 = 0,3 m hosszúságú súlytalan rúd 1, melynek szabad végén m 1 = 4 kg tömegű teher, valamint egy l hosszúságú homogén rúd 2 van. 2 = 0,6 m és m 2 tömeg = 8 kg. Mindkét rúd ugyanabban a függőleges síkban fekszik. A rudak tengelyhez való rögzítési pontjait, valamint az α és β szögeket a táblázat tartalmazza. Méretek AB = BD = DE = EK = b, ahol b = 0,4 m Vegyük a terhelést anyagi pontnak.

A tengely tömegének figyelmen kívül hagyásával határozza meg a nyomócsapágy és a csapágy reakcióját.

A statika az elméleti mechanika egyik ága, amely az erők hatására kialakuló anyagi testek egyensúlyi feltételeit, valamint az erők egyenértékű rendszerré alakításának módszereit vizsgálja.

Az egyensúlyi állapot a statikában olyan állapotot jelent, amelyben a mechanikai rendszer minden része nyugalomban van valamely tehetetlenségi koordinátarendszerhez képest. A statika egyik alapvető tárgya az erők és azok alkalmazási pontjai.

A többi pontból sugárvektorral egy anyagi pontra ható erő a többi pontnak a vizsgált pontra gyakorolt ​​hatásának mértéke, aminek következtében az a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerhez képest gyorsulást kap. Nagysága erő képlet határozza meg:
,
ahol m egy pont tömege - egy érték, amely magának a pontnak a tulajdonságaitól függ. Ezt a képletet Newton második törvényének nevezik.

Statika alkalmazása a dinamikában

A mozgásegyenletek egyik fontos jellemzője abszolút szilárd az, hogy az erők egyenértékű rendszerekké alakíthatók át. Egy ilyen transzformációval a mozgásegyenletek megtartják formájukat, de a testre ható erőrendszer átalakítható egy tovább egyszerű rendszer... Így az erő alkalmazási pontja a hatásvonala mentén mozgatható; az erők a paralelogramma szabály szerint fektethetők le; az egy pontban kifejtett erők a geometriai összegükkel helyettesíthetők.

Ilyen átalakulásokra példa a gravitációs erő. A merev test minden pontjára hat. De a test mozgástörvénye nem fog megváltozni, ha az összes ponton elosztott gravitációs erőt egy, a test tömegközéppontjában alkalmazott vektorral helyettesítjük.

Kiderül, hogy ha a testre ható fő erőrendszerhez hozzáadunk egy ekvivalens rendszert, amelyben az erők irányai megfordulnak, akkor a test ezeknek a rendszereknek a hatására egyensúlyban lesz. Így az ekvivalens erőrendszerek meghatározásának problémája az egyensúly problémájára redukálódik, vagyis a statika problémájára.

A statika fő feladata az erőrendszer ekvivalens rendszerekké való átalakulásának törvényeinek megállapítása. A statika módszereit tehát nemcsak az egyensúlyban lévő testek vizsgálatánál alkalmazzák, hanem a merev test dinamikájában, az erők egyszerűbb ekvivalens rendszerré alakításában is.

Anyagpont statika

Tekintsünk egy anyagi pontot, amely egyensúlyban van. És n erő hatson rá, k = 1, 2, ..., n.

Ha egy anyagi pont egyensúlyban van, akkor a rá ható erők vektorösszege nullával egyenlő:
(1) .

Egyensúlyi állapotban a pontra ható erők geometriai összege egyenlő nullával.

Geometriai értelmezés... Ha a második vektor elejét az első vektor végére, a harmadik elejét a második vektor végére helyezzük, majd ezt a folyamatot folytatjuk, akkor az utolsó, n -edik vége. vektor az első vektor elejéhez lesz igazítva. Vagyis egy zárt geometriai ábrát kapunk, amelynek oldalainak hossza megegyezik a vektorok modulusával. Ha minden vektor ugyanabban a síkban van, akkor azt kapjuk zárt sokszög.

Gyakran kényelmes a választás derékszögű koordinátarendszer Oxyz. Ekkor a koordinátatengelyen lévő összes erővektor vetületeinek összege nulla:

Ha bármelyik vektor által adott irányt választjuk, akkor az erővektorok erre az irányra vetületeinek összege nullával egyenlő:
.
Szorozzuk meg az (1) egyenletet skalárisan egy vektorral:
.
Itt van a vektorok skaláris szorzata és.
Vegye figyelembe, hogy a vektor vetületét a vektor irányára a következő képlet határozza meg:
.

Merev test statika

Egy ponthoz viszonyított erőnyomaték

Az erőnyomaték meghatározása

Egy pillanatnyi erő Az A pontban lévő testre az O rögzített középponthoz viszonyítva egy vektornak nevezzük, amely megegyezik a vektorok vektorszorzatával és:
(2) .

Geometriai értelmezés

A hatalom pillanata egyenlő a termékkel F erőt a vállra OH.

Legyen a és vektorok a rajz síkjában helyezkednek el. Az ingatlan szerint vektor termék, a vektor merőleges a vektorokra, vagyis merőleges a rajz síkjára. Irányát a jobb oldali csavarszabály határozza meg. Az ábrán a pillanatvektor ránk irányul. Abszolút nyomatékérték:
.
Azóta
(3) .

A geometria segítségével másképpen értelmezheti az erőnyomatékot. Ehhez húzzunk egy AH egyenest az erővektoron keresztül. Az O középpontból erre az egyenesre ejtjük az OH merőlegest. Ennek a merőlegesnek a hosszát ún az erő vállát... Azután
(4) .
Mivel, akkor a (3) és (4) képlet egyenértékű.

Ily módon az erőnyomaték abszolút értéke a középponthoz képest O egyenlő vállonkénti erő ez az erő a kiválasztott O középponthoz viszonyítva.

A pillanat kiszámításakor gyakran célszerű az erőt két komponensre bontani:
,
ahol . Az erő áthalad az O ponton. Ezért a pillanata nulla. Azután
.
Abszolút nyomatékérték:
.

Négyszögletes koordináta-rendszer nyomatékösszetevői

Ha egy Oxyz téglalap alakú koordinátarendszert választunk, amelynek középpontja az O pontban van, akkor az erőnyomatéknak a következő összetevői lesznek:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Itt vannak az A pont koordinátái a kiválasztott koordinátarendszerben:
.
A komponensek a tengelyekre vonatkozó erőnyomaték értékeit, ill.

A középponthoz viszonyított erőnyomaték tulajdonságai

Az O középpont körüli nyomaték az ezen a középponton áthaladó erőből nullával egyenlő.

Ha az erő alkalmazási pontját az erővektoron áthaladó egyenes mentén mozgatjuk, akkor ezzel a mozgással a nyomaték nem változik.

A test egy pontjára kifejtett erők vektorösszegéből származó nyomaték egyenlő az ugyanabban a pontban kifejtett erők nyomatékainak vektorösszegével:
.

Ugyanez vonatkozik azokra az erőkre, amelyeknek a folytatási vonalai egy pontban metszik egymást.

Ha az erők vektorösszege nulla:
,
akkor ezen erők nyomatékainak összege nem függ a középpont helyzetétől, amelyhez viszonyítva a nyomatékokat kiszámítjuk:
.

Pár erő

Pár erő- ez két, abszolút értékű és ellentétes irányú erő, amelyek a test különböző pontjaira vonatkoznak.

Egy erőpárt az a pillanat jellemzi, amikor létrehozzák. Mivel a párba tartozó erők vektorösszege egyenlő nullával, a pár által létrehozott nyomaték nem függ attól a ponttól, amelyhez viszonyítva a nyomatékot számítjuk. Szempontból statikus egyensúly, a párba foglalt erők természete nem számít. Egy erőpárt használnak annak jelzésére, hogy a testre erőnyomaték hat, amelynek van egy bizonyos értéke.

Egy adott tengely körüli erőnyomaték

Gyakran előfordul, hogy nem kell ismernünk a kiválasztott ponthoz viszonyított erőnyomaték összes összetevőjét, hanem csak a kiválasztott tengelyhez viszonyított erőnyomatékot kell ismernünk.

Az O ponton átmenő tengely körüli erőnyomaték az erőnyomaték vektorának az O ponthoz viszonyított vetülete a tengely irányába.

A tengely körüli erőnyomaték tulajdonságai

Az ezen a tengelyen áthaladó erőtől a tengely körüli nyomaték egyenlő nullával.

Az ezzel a tengellyel párhuzamos erőtől a tengely körüli nyomaték nulla.

A tengely körüli erőnyomaték számítása

Hagyjon erő hatni a testre az A pontban. Határozzuk meg ennek az erőnek az O'O'' tengely körüli nyomatékát.

Építsünk téglalap alakú koordináta-rendszert. Legyen az Oz tengely egybeesve O′O ′′-vel. Az A pontból ledobjuk az OH merőlegest O′O ′ ′-re. Rajzolja meg az Ox tengelyt az O és A pontokon keresztül. Rajzolja meg az Oy tengelyt merőlegesen az Ox-ra és az Oz-ra. Bontsuk fel az erőt a koordinátarendszer tengelyei mentén lévő komponensekre:
.
Az erő keresztezi az O′O′′ tengelyt. Ezért a pillanata nulla. Az erő párhuzamos az O'O '' tengellyel. Ezért a nyomatéka is nulla. Az (5.3) képlet alapján a következőket kapjuk:
.

Figyeljük meg, hogy a komponens érintőlegesen arra a körre irányul, amelynek középpontja az O pont. A vektor irányát a jobb oldali csavarszabály határozza meg.

Egyensúlyi feltételek merev testhez

Egyensúlyi állapotban a testre ható erők vektorösszege nulla, és ezen erők egy tetszőleges álló középponthoz viszonyított momentumainak vektorösszege nulla:
(6.1) ;
(6.2) .

Hangsúlyozzuk, hogy az O középpont, amelyhez viszonyítva az erőnyomatékokat számítjuk, tetszőlegesen megválasztható. Az O pont vagy a testhez tartozhat, vagy azon kívül lehet. Általában az O középpontot választják a számítások egyszerűsítése érdekében.

Az egyensúlyi feltételek más módon is megfogalmazhatók.

Egyensúlyban az erők tetszőleges vektorral adott irányú vetületeinek összege nulla:
.
Az O′O ′ ′ tetszőleges tengely körüli erőnyomatékok összege szintén nulla:
.

Néha ezek a feltételek kényelmesebbek. Van, amikor a tengelyek kiválasztásával egyszerűbbé tehetjük a számításokat.

A test súlypontja

Fontolja meg az egyiket kritikus erők- a gravitációs erő. Itt az erők nem a test bizonyos pontjain fejtik ki hatásukat, hanem folyamatosan oszlanak el a test térfogatában. Minden testrészhez végtelenül kis térfogattal Δ V, a gravitációs erő hat. Itt ρ a test anyagának sűrűsége, a gravitáció gyorsulása.

Legyen egy végtelenül kicsi testrész tömege. És az A k pont határozza meg ennek a szakasznak a helyzetét. Keressük meg a nehézségi erőhöz kapcsolódó mennyiségeket, amelyek a (6) egyensúlyi egyenletekben szerepelnek.

Határozzuk meg az összes testrész által alkotott gravitációs erők összegét:
,
hol van a testsúly. Így az egyes végtelenül kicsi testrészek gravitációs erőinek összege helyettesíthető az egész test gravitációs vektorával:
.

Határozzuk meg a gravitációs nyomatékok összegét a választott O középponthoz képest tetszőleges módon:

.
Itt bevezettük a C pontot, amelyet ún gravitáció középpontja test. A súlypont helyzetét az O pontban középpontba állított koordinátarendszerben a következő képlet határozza meg:
(7) .

Tehát a statikus egyensúly meghatározásakor az egyes testrészek gravitációs erőinek összege helyettesíthető az eredővel.
,
a C test tömegközéppontjára alkalmazva, amelynek helyzetét a (7) képlet határozza meg.

Súlypont pozíció különböző geometriai formák megtalálhatók a megfelelő referenciakönyvekben. Ha a testnek van szimmetriasíkja vagy tengelye, akkor a súlypont ezen a tengelyen vagy síkon található. Tehát egy gömb, kör vagy kör súlypontjai ezen alakzatok köreinek középpontjában vannak. Súlypontok téglalap alakú paralelepipedon, téglalap vagy négyzet is a középpontjukban - az átlók metszéspontjaiban - találhatók.

Egyenletesen (A) és lineárisan (B) elosztott terhelés.

Vannak a gravitációhoz hasonló esetek is, amikor az erők nem a test bizonyos pontjain fejtik ki hatásukat, hanem folyamatosan oszlanak el a test felületén vagy térfogatán. Az ilyen erőket ún elosztott erők vagy .

(A ábra). Valamint a gravitációhoz hasonlóan ez is helyettesíthető a telek súlypontjában alkalmazott mennyiség eredő erejével. Mivel az A ábra diagramja egy téglalap, a diagram súlypontja a középpontjában van - C pont: | AC | = | CB |.

(B ábra). Helyettesíthető eredővel is. Az eredő értéke megegyezik a diagram területével:
.
Az alkalmazási pont a telek súlypontjában van. A h magasságú háromszög súlypontja az alaptól távol van. Így .

Súrlódási erők

Csúszó súrlódás... Legyen a test sima felületen. És legyen az a felületre merőleges erő, amelyből a felület a testre hat (nyomóerő). Ekkor a csúszó súrlódási erő a felülettel párhuzamos és oldalra irányul, megakadályozva a test mozgását. Legnagyobb értéke egyenlő:
,
ahol f a súrlódási tényező. A súrlódási tényező dimenzió nélküli.

Gördülési súrlódás... Hagyja, hogy a lekerekített test gördüljön vagy gördüljön a felületen. És legyen az a felületre merőleges nyomóerő, amelyből a felület hat a testre. Ekkor egy pillanatnyi súrlódási erő hat a testre, a felülettel való érintkezési ponton, ami megakadályozza a test elmozdulását. A pillanat legnagyobb értéke súrlódás egyenlő:
,
ahol δ a gördülési súrlódási együttható. Megvan a hossz mérete.

Referenciák:
S. M. Targ, Rövid tanfolyam elméleti mechanika, " elvégezni az iskolát", 2010.

Elméleti mechanika- ez a mechanika egy része, amely az anyagi testek mechanikai mozgásának és mechanikai kölcsönhatásának alapvető törvényeit rögzíti.

Az elméleti mechanika az a tudomány, amelyben a testek időbeli mozgását (mechanikai mozgásait) tanulmányozzák. A mechanika más ágainak (rugalmasság elmélete, anyagok ellenállásának elmélete, plaszticitás elmélete, mechanizmus- és gépelmélet, hidroaerodinamika) és számos műszaki tudomány alapjául szolgál.

Mechanikus mozgás Idővel változik kölcsönös álláspont az anyagi testek terében.

Mechanikai kölcsönhatás- olyan kölcsönhatásról van szó, amelynek következtében megváltozik a mechanikai mozgás, vagy megváltozik a testrészek egymáshoz viszonyított helyzete.

Merev test statika

Statika- ez az elméleti mechanika egy része, amely a merev testek egyensúlyának és az egyik erőrendszernek egy másik, azzal egyenértékű erőrendszerré való átalakulásának problémájával foglalkozik.

A statika alapfogalmai és törvényei
• Abszolút szilárd(szilárd, test) olyan anyagi test, amelynek bármely pontja közötti távolság nem változik.
• Anyagi pont Olyan test, amelynek méretei a probléma körülményei szerint elhanyagolhatók.
• Szabad test Olyan test, amelynek mozgása nincs korlátozva.
• Szabad (kötött) test Olyan test, amelynek mozgása korlátozott.
• Kapcsolatok- ezek olyan testek, amelyek megakadályozzák a vizsgált tárgy (test vagy testrendszer) mozgását.
• Kommunikációs reakció Olyan erő, amely egy kötés merev testre gyakorolt ​​hatását jellemzi. Ha azt az erőt tekintjük, amellyel egy merev test egy kötésre hat, akkor a kötésreakció reakció. Ebben az esetben az erőt - a műveletet a kötésre, a kötési reakciót pedig a szilárd anyagra alkalmazzák.
• Mechanikai rendszerÖsszekapcsolt testek vagy anyagi pontok halmaza.
• Szilárd mechanikai rendszernek tekinthető, amelynek helyzete és pontjai közötti távolság nem változik.
• Erő- azt vektor mennyiség egyik anyagi test másikra gyakorolt ​​mechanikai hatását jellemzi.
  Az erőt mint vektort az alkalmazási pont, a hatás iránya és az abszolút érték jellemzi. Az erőmodulus mértékegysége Newton.
• Kényszer akcióvonal Egy egyenes vonal, amelyre az erővektor irányul.
• Koncentrált erő- egy ponton alkalmazott erő.
• Megosztott erők (elosztott terhelés)- ezek a test térfogatának, felületének vagy hosszának minden pontjára ható erők.
  Az elosztott terhelést a térfogategységre (felületre, hosszra) ható erő határozza meg.
  Az elosztott terhelés mérete N / m 3 (N / m 2, N / m).
• Külső erő Olyan testből ható erő, amely nem tartozik a vizsgált mechanikai rendszerhez.
• Belső erő Olyan erő, amely egy másik mechanikai rendszer anyagi pontjára hat anyagi pont a vizsgált rendszerhez tartozik.
• Erőrendszer A mechanikai rendszerre ható erők összessége.
• Lapos erőrendszer Olyan erőrendszer, amelynek hatásvonalai ugyanabban a síkban fekszenek.
• Az erők térbeli rendszere Olyan erőrendszer, amelynek hatásvonalai nem egy síkban fekszenek.
• Konvergáló erők rendszere Olyan erőrendszer, amelynek hatásvonalai egy pontban metszik egymást.
• Önkényes erőrendszer Olyan erőrendszer, amelynek hatásvonalai nem metszik egymást egy pontban.
• Egyenértékű erőrendszerek- ezek olyan erőrendszerek, amelyek egymásra váltása nem változtatja meg a test mechanikai állapotát.
  Elfogadott megnevezés:.
• Egyensúlyi- ez az az állapot, amikor a test az erők hatására álló helyzetben marad, vagy egyenletesen, egyenes vonalban mozog.
• Kiegyensúlyozott erőrendszer Olyan erőrendszer, amely szabad szilárd testre hatva nem változtatja meg annak mechanikai állapotát (nem bontja ki az egyensúlyt).
  .
• Eredményes erő Olyan erő, amelynek a testre gyakorolt ​​hatása egyenértékű az erőrendszer hatásával.
  .
• A hatalom pillanata Olyan érték, amely egy erő forgási képességét jellemzi.
• Pár erő Két párhuzamos, egyenlő nagyságú, ellentétes irányú erő rendszere.
  Elfogadott megnevezés:.
  Egy pár erő hatására a test forog.
• Tengelyerő vetítés Az erővektor elejétől és végétől erre a tengelyre húzott merőlegesek közé zárt szakasz.
  A vetítés akkor pozitív, ha a szakasz iránya egybeesik a tengely pozitív irányával.
• Erővetítés síkra Egy síkon lévő vektor, amely az erővektor elejétől és végétől erre a síkra húzott merőlegesek közé van zárva.
• 1. törvény (tehetetlenségi törvény). Egy elszigetelt anyagpont nyugalomban van, vagy egyenletesen és egyenesen mozog.
  Egy anyagi pont egyenletes és egyenes vonalú mozgása tehetetlenségi mozgás. Az anyagi pont és a merev test közötti egyensúlyi állapoton nemcsak nyugalmi állapot értendő, hanem tehetetlenségi mozgásként is. Merev test esetén többféle tehetetlenségi mozgás létezik, például egy merev test egyenletes forgása egy rögzített tengely körül.
• 2. törvény. Egy szilárd test csak akkor van egyensúlyban két erő hatására, ha ezek az erők egyenlő nagyságúak és ellentétes irányban irányulnak a közös hatásvonal mentén.
  Ezt a két erőt kiegyenlítő erőknek nevezzük.
  Általában az erőket kiegyenlítőnek nevezzük, ha a merev test, amelyre ezeket az erőket kifejtik, nyugalomban van.
• 3. törvény. A merev test állapotának (az „állapot” szó itt mozgási vagy nyugalmi állapotot jelent) megzavarása nélkül ellensúlyozó erőket adhatunk és ejtünk.
  Következmény. A merev test állapotának megsértése nélkül az erő hatásvonala mentén átvihető a test bármely pontjára.
  Két erőrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha az egyik a merev test állapotának megsértése nélkül helyettesíthető egy másikkal.
• 4. törvény. Egy pontban kifejtett, ugyanabban a pontban kifejtett két erő eredője nagysága egyenlő az ezekre az erőkre épített paralelogramma átlójával, és ennek mentén irányul.
  Diagonal vonalok.
  Az eredő modulusa egyenlő:
  
• 5. törvény (a cselekvés és a reakció egyenlőségének törvénye)... Azok az erők, amelyekkel két test hat egymásra, egyenlő nagyságúak, és egy egyenes mentén ellentétes irányba irányulnak.
  Ezt szem előtt kell tartani akció- a testre ható erő B, és ellenhatás- a testre ható erő A nincsenek kiegyensúlyozottak, mivel különböző testekhez kapcsolódnak.
• 6. törvény (a keményedés törvénye)... A nem szilárd test egyensúlya nem bomlik meg, amikor megszilárdul.
  Nem szabad elfelejteni, hogy az egyensúlyi feltételek, amelyek szükségesek és elegendőek egy szilárd testhez, szükségesek, de nem elegendőek a megfelelő nem szilárdtesthez.
• 7. törvény (a kötelékek alóli felmentés törvénye). Egy nem szabad merev test akkor tekinthető szabadnak, ha mentálisan felszabadul a kötésektől, és a kötések hatását a kötések megfelelő reakcióival helyettesíti.

Kapcsolatok és reakcióik
• Sima felület korlátozza a mozgást a támasztófelület normális mentén. A reakció a felületre merőlegesen irányul.
• Csuklós mozgatható támaszték korlátozza a test mozgását a normál mentén a referenciasíkhoz. A reakció a normál mentén a támasztófelület felé irányul.
• Csuklós fix támaszték ellensúlyoz minden mozgást a forgástengelyre merőleges síkban.
• Csuklós súlytalan rúd ellensúlyozza a test mozgását a rúd vonala mentén. A reakciót a sáv vonala mentén irányítjuk.
• Vak befejezés ellensúlyoz minden mozgást és forgást a síkban. Hatása helyettesíthető két komponens formájában ábrázolt erővel és egy nyomatékos erőpárral.

Kinematika

Kinematika- az elméleti mechanika egy olyan része, amely általánosságokkal foglalkozik geometriai tulajdonságok mechanikus mozgás, mint térben és időben végbemenő folyamat. A mozgó tárgyakat geometriai pontoknak vagy geometriai testeknek tekintjük.

Kinematikai alapfogalmak
• Egy pont (test) mozgásának törvénye Egy pont (test) térbeli helyzetének időfüggősége.
• Pont pályája Egy pont geometriai helyzete a térben mozgása során.
• Pont (test) sebesség- Ez egy pont (test) térbeli helyzetének időbeli változásának jellemzője.
• Pont (test) gyorsulás- Ez egy pont (test) sebességének időbeli változásának jellemzője.

Egy pont kinematikai jellemzőinek meghatározása
• Pont pályája
  A vektor vonatkoztatási rendszerében a pályát a következő kifejezés írja le:.
  A vonatkoztatási koordináta-rendszerben a pályát egy pont mozgástörvénye szerint határozzák meg, és a kifejezésekkel írják le z = f (x, y)- térben, ill y = f (x)- a repülőben.
  A természetes vonatkoztatási rendszerben a pálya előre meghatározott.
• Egy pont sebességének meghatározása vektorkoordináta-rendszerben
  Egy vektorkoordináta-rendszerben egy pont mozgásának megadásakor a mozgás és az időintervallum arányát a sebesség átlagértékének nevezzük ebben az időintervallumban:.
  Ha az időintervallumot végtelenül kis értéknek vesszük, a sebességértéket egy adott időpontban kapjuk (pillanatnyi sebesség érték): .
  Vektor átlagsebesség a vektor mentén a pont mozgásának irányába, a pillanatnyi sebességvektor a pont mozgási irányú pályára érintőlegesen irányul.
  Következtetés: egy pont sebessége egy vektormennyiség, amely egyenlő a mozgástörvény időbeli deriváltjával.
  Származékos tulajdonság: bármely mennyiség időbeli deriváltja határozza meg ennek a mennyiségnek a változási sebességét.
• Egy pont sebességének meghatározása koordinátarendszerben
  Pontkoordináták változási sebessége:
  .
  Egy téglalap alakú koordinátarendszerű pont teljes sebességének modulusa egyenlő lesz:
  .
  A sebességvektor irányát az irányszögek koszinuszai határozzák meg:
  ,
  hol vannak a sebességvektor és a koordinátatengelyek közötti szögek.
• Egy pont sebességének meghatározása a természetes vonatkoztatási rendszerben
  A természetes vonatkoztatási rendszerben egy pont sebességét a pont mozgástörvényének deriváltjaként határozzuk meg:.
  A korábbi következtetések szerint a sebességvektor a pont mozgási irányában érintőlegesen irányul a pályára, és a tengelyekben csak egy vetület határozza meg.

Merev test kinematika
• A szilárd testek kinematikájában két fő feladatot oldanak meg:
  1) a mozgás feladata és a test egésze kinematikai jellemzőinek meghatározása;
  2) a test pontjainak kinematikai jellemzőinek meghatározása.
• Merev test transzlációs mozgása
  A transzlációs mozgás olyan mozgás, amelyben a test két pontján keresztül húzott egyenes vonal párhuzamos marad eredeti helyzetével.
  Tétel: transzlációs mozgás során a test minden pontja ugyanazon a pályán mozog, és minden időpillanatban azonos sebességgel és nagyságrendű és irányú gyorsulással rendelkezik..
  Következtetés: egy merev test transzlációs mozgását bármely pontjának mozgása határozza meg, ezért mozgásának feladata és tanulmányozása a pont kinematikájára redukálódik.
• Merev test forgó mozgása rögzített tengely körül
  A merev test fix tengely körüli forgó mozgása egy merev test mozgása, amelyben a testhez tartozó két pont a mozgás teljes ideje alatt mozdulatlan marad.
  A test helyzetét a forgásszög határozza meg. A szög mértékegysége radián. (A radián egy olyan kör középponti szöge, amelynek ívhossza megegyezik a sugárral, a kör teljes szöge tartalmazza 2π radián.)
  A test fix tengely körüli forgási törvénye.
  A test szögsebességét és szöggyorsulását a differenciálási módszerrel határozzuk meg:
  — szögsebesség, rad / s;
  - szöggyorsulás, rad / s².
  Ha a testet a tengelyre merőleges síkkal vágja, válassza ki a forgástengelyen lévő pontot VAL VELés egy tetszőleges pont M majd pont M leírja a lényeget VAL VEL kör sugara R... Alatt dt szögben elemi elfordulás következik be, míg a pont M távolságra fog mozogni a pálya mentén .
  Lineáris sebesség modul:
  .
  Pontgyorsulás M ismert pályával, összetevői határozzák meg:
  ,
  ahol .
  Ennek eredményeként megkapjuk a képleteket
  érintőleges gyorsulás: ;
  normál gyorsulás: .

Dinamika

Dinamika Az elméleti mechanika egy része, amelyben tanulnak mechanikus mozgások anyagi testek, az azokat kiváltó okoktól függően.

A dinamika alapfogalmai
• Tehetetlenség- ez az anyagi testek azon tulajdonsága, hogy nyugalmi állapotot vagy egyenletes egyenes vonalú mozgást tartsanak fenn, amíg a külső erők ezt az állapotot meg nem változtatják.
• Súly A test tehetetlenségének mennyiségi mértéke. A tömeg mértékegysége a kilogramm (kg).
• Anyagi pont Olyan tömegű test, amelynek méreteit figyelmen kívül hagyjuk a probléma megoldása során.
• A mechanikai rendszer súlypontja- geometriai pont, amelynek koordinátáit a következő képletek határozzák meg:
  
  ahol m k, x k, y k, z k- tömeg és koordináták k- a mechanikus rendszer pontja, m A rendszer tömege.
  Egy homogén gravitációs térben a tömegközéppont helyzete egybeesik a tömegközéppont helyzetével.
• Anyagi test tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül A forgási tehetetlenség mennyiségi mértéke.
  Egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül egyenlő a pont tömegének a tengelytől való távolságának négyzetével:
  .
  A rendszer (test) tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül egyenlő az összes pont tehetetlenségi nyomatékának számtani összegével:
  
• Anyagi pont tehetetlenségi ereje Egy vektormennyiség nagyságrendileg egyenlő a ponttömegnek a gyorsulási modulussal való szorzatával, és a gyorsulási vektorral ellentétes irányban van:
• Anyagi test tehetetlenségi ereje Egy vektormennyiség modulusában egyenlő a test tömegének a test tömegközéppontjának gyorsulási modulusával való szorzatával, és ellentétes irányban van a tömegközéppont gyorsulási vektorával:
  ahol a test tömegközéppontjának gyorsulása.
• Elemi Erő Impulzus Olyan vektormennyiség, amely egyenlő az erővektor szorzatával végtelenül kis időintervallumban dt:
  .
  A Δt teljes erőimpulzusa megegyezik az elemi impulzusok integráljával:
  .
• Elemi erőmunka Egy skalár dA egyenlő a skalár proi-val

Bármelyiken belül tanfolyam a fizika tanulmányozása a mechanikával kezdődik. Nem elméleti, nem alkalmazott és nem számítási, hanem a jó öreg klasszikus mechanikával. Ezt a mechanikát newtoni mechanikának is nevezik. A legenda szerint a tudós a kertben sétálva látott egy almát lehullani, és ez a jelenség késztette őt a törvény felfedezésére. egyetemes gravitáció... Természetesen a törvény mindig is létezett, és Newton csak olyan formát adott neki, amit az emberek megértenek, de érdeme felbecsülhetetlen. Ebben a cikkben nem írjuk le a newtoni mechanika törvényeit a lehető legrészletesebben, de felvázoljuk azokat az alapokat, alapvető ismereteket, definíciókat és képleteket, amelyek mindig a kezedre játszhatnak.

A mechanika a fizika egyik ága, az anyagi testek mozgását és a köztük lévő kölcsönhatásokat vizsgáló tudomány.

Maga a szó görög eredetű, és "a gépek építésének művészete"-nek fordítják. De a gépek építése előtt még olyanok vagyunk, mint a Hold, így őseink nyomdokaiba lépünk, és a horizonthoz képest szögben elhajított kövek, a magasból fejre hulló almák mozgását tanulmányozzuk. h.

Miért kezdődik a fizika tanulmányozása a mechanikával? Mert teljesen természetes, hogy nem a termodinamikai egyensúlyból indulunk ki?!

A mechanika az egyik legrégebbi tudomány, és történelmileg a fizika tanulmányozása pontosan a mechanika alapjaitól indult. Az idő és tér keretei közé helyezve az ember valójában nem is tudott másból kiindulni, minden vágyával. A mozgás az első dolog, amire figyelmünket fordítjuk.

Mi a mozgás?

A mechanikai mozgás a testek térbeli helyzetének időbeli változása egymáshoz képest.

E meghatározás után egészen természetes módon jutunk el a vonatkoztatási rendszer fogalmához. A testek egymáshoz viszonyított helyzetének megváltoztatása a térben. Kulcsszavak itt: egymáshoz képest ... Hiszen az autó utasa az út szélén álló személyhez képest egy bizonyos sebességgel mozog, és a szomszédjához képest a mellette lévő ülésen pihen, és eltérő sebességgel mozog egy utashoz képest. autó, amely megelőzi őket.

Éppen ezért, hogy normálisan mérjük a mozgó objektumok paramétereit és ne tévedjünk össze, szükségünk van vonatkoztatási rendszer - mereven összekapcsolt referenciatest, koordinátarendszer és óra. Például a Föld a Nap körül mozog heliocentrikus rendszer visszaszámlálás. A mindennapi életben szinte minden mérésünket a Földhöz kapcsolódó geocentrikus vonatkoztatási rendszerben végezzük. A Föld egy referenciatest, amelyhez képest autók, repülőgépek, emberek, állatok mozognak.

A mechanikának, mint tudománynak megvan a maga feladata. A mechanikának az a feladata, hogy bármikor ismerje a test helyzetét a térben. Más szóval, a mechanika matematikai leírást készít a mozgásról, és összefüggéseket talál közöttük fizikai mennyiségek jellemzi azt.

A továbblépéshez szükségünk van a koncepcióra anyagi pont ”. Azt mondják, a fizika egzakt tudomány, de a fizikusok tudják, hány közelítést és feltételezést kell tenni ahhoz, hogy megegyezzenek ebben a pontosságban. Soha senki nem látott anyagi pontot és nem érzett ideális gázszagot, de ez van! Csak sokkal könnyebb velük együtt élni.

Az anyagi pont egy test, amelynek mérete és alakja elhanyagolható a probléma kapcsán.

A klasszikus mechanika szakaszai

A mechanika több részből áll

• Kinematika
• Dinamika
• Statika

Kinematika fizikai szempontból pontosan azt vizsgálja, hogyan mozog a test. Más szóval, ez a rész foglalkozik mennyiségi jellemzők mozgalom. Sebesség, út keresése - tipikus kinematikai problémák

Dinamika megoldja a kérdést, hogy miért mozog így. Vagyis figyelembe veszi a testre ható erőket.

Statika a testek egyensúlyát vizsgálja az erők hatására, vagyis megválaszolja a kérdést: miért nem esik le egyáltalán?

A klasszikus mechanika alkalmazhatósági határai

Klasszikus mechanika ma már nem állítja magát olyan tudománynak, amely mindent megmagyaráz (a múlt század elején minden egészen más volt), és világos alkalmazhatósági keretekkel rendelkezik. Általánosságban elmondható, hogy a klasszikus mechanika törvényei érvényesek arra a világra, amelyhez a méreteket tekintve megszoktuk (makrokozmosz). A részecskevilág esetében leállnak, amikor a klasszikust felváltja kvantummechanika... Ezenkívül a klasszikus mechanika nem alkalmazható olyan esetekben, amikor a testek mozgása a fénysebességhez közeli sebességgel történik. Ilyen esetekben relativisztikus hatások jelentkeznek. Nagyjából a kvantum és a keretek között relativisztikus mechanika- klasszikus mechanika, ez egy speciális eset, amikor a test méretei nagyok, és a sebesség kicsi.

Általánosságban elmondható, hogy a kvantum és a relativisztikus effektusok soha nem múlnak el, hanem makroszkopikus testek hétköznapi mozgása során is végbemennek, sokkal kisebb sebességgel, mint a fénysebesség. Egy másik dolog, hogy ezeknek a hatásoknak a hatása olyan kicsi, hogy nem haladja meg a legpontosabb méréseket. Így a klasszikus mechanika soha nem veszíti el alapvető fontosságát.

A jövőbeni cikkeinkben folytatjuk a mechanika fizikai alapjainak tanulmányozását. A mechanika jobb megértéséhez mindig hivatkozhat a szerzőinknek amely be egyénileg fényt derít a legnehezebb feladat sötét pontjára.

Bármely tudományos kurzusban a fizika tanulmányozása a mechanikával kezdődik. Nem elméleti, nem alkalmazott és nem számítási, hanem a jó öreg klasszikus mechanikával. Ezt a mechanikát newtoni mechanikának is nevezik. A legenda szerint a tudós a kertben sétálva látott egy almát lehullani, és ez a jelenség késztette őt az egyetemes gravitáció törvényének felfedezésére. Természetesen a törvény mindig is létezett, és Newton csak olyan formát adott neki, amit az emberek megértenek, de érdeme felbecsülhetetlen. Ebben a cikkben nem írjuk le a newtoni mechanika törvényeit a lehető legrészletesebben, de felvázoljuk azokat az alapokat, alapvető ismereteket, definíciókat és képleteket, amelyek mindig a kezedre játszhatnak.

A mechanika a fizika egyik ága, az anyagi testek mozgását és a köztük lévő kölcsönhatásokat vizsgáló tudomány.

Maga a szó görög eredetű, és "a gépek építésének művészete"-nek fordítják. De a gépek építése előtt még olyanok vagyunk, mint a Hold, így őseink nyomdokaiba lépünk, és a horizonthoz képest szögben elhajított kövek, a magasból fejre hulló almák mozgását tanulmányozzuk. h.

Miért kezdődik a fizika tanulmányozása a mechanikával? Mert teljesen természetes, hogy nem a termodinamikai egyensúlyból indulunk ki?!

A mechanika az egyik legrégebbi tudomány, és történelmileg a fizika tanulmányozása pontosan a mechanika alapjaitól indult. Az idő és tér keretei közé helyezve az ember valójában nem is tudott másból kiindulni, minden vágyával. A mozgás az első dolog, amire figyelmünket fordítjuk.

Mi a mozgás?

A mechanikai mozgás a testek térbeli helyzetének időbeli változása egymáshoz képest.

E meghatározás után egészen természetes módon jutunk el a vonatkoztatási rendszer fogalmához. A testek egymáshoz viszonyított helyzetének megváltoztatása a térben. Kulcsszavak itt: egymáshoz képest ... Hiszen az autó utasa az út szélén álló személyhez képest egy bizonyos sebességgel mozog, és a szomszédjához képest a mellette lévő ülésen pihen, és eltérő sebességgel mozog egy utashoz képest. autó, amely megelőzi őket.

Éppen ezért, hogy normálisan mérjük a mozgó objektumok paramétereit és ne tévedjünk össze, szükségünk van vonatkoztatási rendszer - mereven összekapcsolt referenciatest, koordinátarendszer és óra. Például a Föld egy heliocentrikus vonatkoztatási rendszerben kering a Nap körül. A mindennapi életben szinte minden mérésünket a Földhöz kapcsolódó geocentrikus vonatkoztatási rendszerben végezzük. A Föld egy referenciatest, amelyhez képest autók, repülőgépek, emberek, állatok mozognak.

A mechanikának, mint tudománynak megvan a maga feladata. A mechanikának az a feladata, hogy bármikor ismerje a test helyzetét a térben. Más szóval, a mechanika megszerkeszti a mozgás matematikai leírását, és összefüggéseket talál az azt jellemző fizikai mennyiségek között.

A továbblépéshez szükségünk van a koncepcióra anyagi pont ”. Azt mondják, a fizika egzakt tudomány, de a fizikusok tudják, hány közelítést és feltételezést kell tenni ahhoz, hogy megegyezzenek ebben a pontosságban. Soha senki nem látott anyagi pontot és nem érzett ideális gázszagot, de ez van! Csak sokkal könnyebb velük együtt élni.

Az anyagi pont egy test, amelynek mérete és alakja elhanyagolható a probléma kapcsán.

A klasszikus mechanika szakaszai

A mechanika több részből áll

• Kinematika
• Dinamika
• Statika

Kinematika fizikai szempontból pontosan azt vizsgálja, hogyan mozog a test. Más szóval, ez a rész a mozgás mennyiségi jellemzőivel foglalkozik. Sebesség, út keresése - tipikus kinematikai problémák

Dinamika megoldja a kérdést, hogy miért mozog így. Vagyis figyelembe veszi a testre ható erőket.

Statika a testek egyensúlyát vizsgálja az erők hatására, vagyis megválaszolja a kérdést: miért nem esik le egyáltalán?

A klasszikus mechanika alkalmazhatósági határai

A klasszikus mechanika ma már nem tartja magát olyan tudománynak, amely mindent megmagyaráz (a múlt század elején még minden egészen más volt), és világos alkalmazhatósági keretekkel rendelkezik. Általánosságban elmondható, hogy a klasszikus mechanika törvényei érvényesek arra a világra, amelyhez a méreteket tekintve megszoktuk (makrokozmosz). Leállnak működni a részecskevilág esetében, amikor a kvantummechanika felváltja a klasszikust. Ezenkívül a klasszikus mechanika nem alkalmazható olyan esetekben, amikor a testek mozgása a fénysebességhez közeli sebességgel történik. Ilyen esetekben relativisztikus hatások jelentkeznek. Durván szólva, a kvantum- és relativisztikus mechanika - a klasszikus mechanika keretein belül ez egy speciális eset, amikor a test méretei nagyok, és a sebesség kicsi.

Általánosságban elmondható, hogy a kvantum és a relativisztikus effektusok soha nem múlnak el, hanem makroszkopikus testek hétköznapi mozgása során is végbemennek, sokkal kisebb sebességgel, mint a fénysebesség. Egy másik dolog, hogy ezeknek a hatásoknak a hatása olyan kicsi, hogy nem haladja meg a legpontosabb méréseket. Így a klasszikus mechanika soha nem veszíti el alapvető fontosságát.

A jövőbeni cikkeinkben folytatjuk a mechanika fizikai alapjainak tanulmányozását. A mechanika jobb megértéséhez mindig hivatkozhat a szerzőinknek akik külön-külön rávilágítanak a legnehezebb feladat sötét foltjára.