الطبيعة هي خلق مثالي ، العلماء مقتنعون ، الذين يكتشفون نسب النسبة الذهبية في بنية جسم الإنسان ، والأشكال الكسورية في رأس القرنبيط.

كتب شيشرون في القرن الأول قبل الميلاد: "إن دراسة الطبيعة ومراقبتها ولدت العلم". في المزيد مرات لاحقةمع تطور العلم وبعده عن دراسة الطبيعة ، يتفاجأ العلماء باكتشاف ما كان لا يزال معروفاً لأسلافنا ، لكن لم تؤكده الأساليب العلمية.

من المثير للاهتمام العثور على تكوينات مماثلة في العالم الصغير والكبير ؛ قد يكون مصدر إلهام أيضًا أن هندسة هذه التكوينات يمكن وصفها بالعلم. نظام الدورة الدموية ، النهر ، البرق ، فروع الأشجار ... كل هذه أنظمة متشابهة ، تتكون من جزيئات مختلفة ومختلفة في الحجم.

نسب "النسبة الذهبية"

حتى الإغريق ، وربما المصريون ، عرفوا نسبة "النسبة الذهبية". دعا لوكا باسيولي ، عالم رياضيات من عصر النهضة ، هذه النسبة " النسبة الإلهية". اكتشف العلماء في وقت لاحق ذلك النسبة الذهبيةيمكن العثور عليه في كل مكان في الطبيعة ، وهو أمر يرضي عين الإنسان وغالبًا ما يوجد في العمارة الكلاسيكية والفن وحتى الشعر.

نسبة النسبة الذهبية هي تقسيم قطعة إلى جزأين غير متساويين ، حيث يشير الجزء القصير إلى الجزء الطويل باعتباره الجزء الطويل إلى الجزء بأكمله. نسبة الجزء الطويل إلى المقطع بأكمله هو رقم لا نهائي ، والكسر غير المنطقي هو 0.618 ... ، ونسبة الجزء القصير 0.382 ...

إذا قمت ببناء مستطيل به جوانب ، فستكون النسبة مساوية لنسب "القسم الذهبي" ، وقمت بتسجيل "مستطيل ذهبي" آخر فيه ، في ذلك المستطيل ، وهكذا إلى الداخل والخارج إلى الأبد ، ثم دوامة يمكن رسمها على طول نقاط ركن المستطيلات. ومن المثير للاهتمام أن مثل هذا اللولب سيتزامن مع قطع قشرة نوتيلوس ، بالإضافة إلى اللوالب الأخرى التي تحدث بشكل طبيعي.

رسم توضيحي: Homk / wikipedia.org

أحفورة نوتيلوس.
الصورة: Studio-Annika / Photos.com

مغسلة نوتيلوس.
الصورة: كريس 73 / en.wikipedia.org

تعتبر نسبة النسبة الذهبية بالعين البشرية جميلة ومتناسقة. وأيضًا نسبة 0.618 ... تساوي نسبة الرقم السابق إلى الرقم التالي في سلسلة فيبوناتشي. توجد أرقام فيبوناتشي في كل مكان بطبيعتها: فهي عبارة عن دوامة تلتصق على طولها فروع النباتات بالجذع ، وهي حلزونية تنمو بمحاذاة الحراشف على مخروط أو بذور على عباد الشمس. ومن المثير للاهتمام أن عدد صفوف الدوران في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة هي الأرقام المجاورة في سلسلة فيبوناتشي.

رأس ملفوف البروكلي وقرن الكبش ملتويان حلزونيًا ... وفي جسم الإنسان نفسه ، بطبيعة الحال ، صحية وذات نسب طبيعية ، توجد نسب النسبة الذهبية.

الرجل الفيتروفي. رسم ليوناردو دافنشي.

1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، ... هي أرقام سلسلة فيبوناتشي ، حيث يتم الحصول على كل مصطلح لاحق من مجموع السابقتين. المجرات اللولبية البعيدة التي تم التقاطها بواسطة الأقمار الصناعية تلتف أيضًا في حلزونات فيبوناتشي.

مجرة حلزونية.
الصورة: ناسا

ثلاثة أعاصير مدارية.
الصورة: ناسا

جزيء الحمض النووي ملتوي في حلزون مزدوج.

الحمض النووي البشري الحلزوني.
رسم توضيحي: Zephyris / en.wikipedia.org

يدور الإعصار في دوامة ، ويدور العنكبوت شبكته في دوامة.

شبكة العنكبوت.
الصورة: Vincent de Groot / videgro.net

يمكن أيضًا رؤية "النسبة الذهبية" في بنية جسم الفراشة ، فيما يتعلق بأجزاء الجسم الصدري والبطن ، وكذلك في اليعسوب. ومعظم البيض يصلح ، إن لم يكن في مستطيل القسم الذهبي ، في مشتقه منه.

فن: أدولف ميلوت

فركتلات

الفركتلات هي أشكال أخرى مثيرة للاهتمام يمكننا رؤيتها في كل مكان في الطبيعة. الفركتلات عبارة عن أشكال مكونة من أجزاء ، كل منها مثل شكل كامل - ألا يشبه هذا مبدأ النسبة الذهبية؟

الأشجار والبرق والشعب الهوائية والجهاز الدوري للإنسان لها شكل كسوري ، كما تسمى السراخس والبروكلي بالرسوم التوضيحية الطبيعية المثالية للفركتلات. "كل شيء معقد للغاية ، كل شيء في غاية البساطة" يتم ترتيبه في الطبيعة ، كما يلاحظ الناس ، ويستمعون إليها باحترام.

كتب شيشرون: "لقد منحت الطبيعة الإنسان الرغبة في اكتشاف الحقيقة" ، وأود أن أكمل بكلماته الجزء الأول من المقالة عن الهندسة في الطبيعة.

البروكلي هو التوضيح الطبيعي المثالي للفركتلات.
الصورة: pdphoto.org

أوراق السرخس لها شكل كسوري - فهي متشابهة ذاتياً.
الصورة: Stockbyte / Photos.com

الفركتلات الخضراء: أوراق السرخس.
الصورة: جون فوكس / Photos.com

عروق كسورية على ورقة صفراء.
الصورة: دييغو باروكو / Photos.com

شقوق في الحجر: كسورية كبيرة.
الصورة: بوب بيل / Photos.com

فروع الجهاز الدوري على آذان الأرنب.
الصورة: Lusoimages / Photos.com

ضربة صاعقة - فرع كسورية.
الصورة: John R. Southern / flickr.com

فرع من الشرايين في جسم الإنسان.

النهر المتعرج وفروعه.
الصورة: Jupiterimages / Photos.com

الجليد المتجمد على الزجاج له نمط مماثل ذاتيًا.
الصورة: Schnobby / en.wikipedia.org

أوراق اللبلاب مع عروق متفرعة - كسورية في الشكل.
الصورة: Wojciech Plonka / Photos.com

إرسال عملك الجيد في قاعدة المعرفة أمر بسيط. استخدم النموذج أدناه

سيكون الطلاب وطلاب الدراسات العليا والعلماء الشباب الذين يستخدمون قاعدة المعرفة في دراساتهم وعملهم ممتنين جدًا لك.

نشر على http://www.allbest.ru/

وزارة التربية والتعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

سمة: فركتلات- مميزشاءعلى قيد الحياةوجمادالعالم

خاباروفسك توجو 2015

• جدول المحتويات
• رسومات كسورية هندسية
• تاريخ الفركتلات
• تصنيف الفركتلات
• الفركتلات الهندسية
• الفركتلات الجبرية
• تطبيق الفركتلات
• الفركتلات والعالم من حولنا
• رسومات كسورية
• تطبيق الفركتلات
• علوم طبيعية
• هندسة الراديو
• علوم الكمبيوتر
• الاقتصاد والتمويل

تاريخ الفركتلات

في كثير من الأحيان نلتقي بأشياء خاصة ، لكن قلة من الناس يعرفون أنها فركتلات. الفركتلات هي كائنات فريدة تم إنشاؤها بواسطة الحركات غير المتوقعة للعالم الفوضوي. توجد في كل من الأجسام الصغيرة ، مثل غشاء الخلية ، والأجسام الضخمة ، مثل النظام الشمسي والمجرة. الخامس الحياة اليوميةيمكننا أن نرى صور النمطي هندسي متكرر في ورق الحائط ، والنسيج ، وشاشة توقف سطح المكتب على جهاز كمبيوتر ، وفي الطبيعة - هذه نباتات ، وحيوانات بحرية ، وظواهر طبيعية.

كان العلماء مفتونين بالفركتلات منذ العصور القديمة ، كما يحب المبرمجون والمتخصصون في رسومات الحاسوب هذه الأشياء. كان اكتشاف الفركتلات ثورة في إدراك الإنسان للعالم واكتشاف جماليات جديدة للفن والعلوم.

إذن ما هي الفركتلات؟ كسورية - الشكل الهندسي، التي تمتلك خاصية التشابه الذاتي ، أي تتكون من عدة أجزاء ، كل منها مشابه للشكل ككل.

تمت صياغة مصطلح الفركتل في عام 1975. بينوا ماندلبروت للإشارة إلى الهياكل غير المنتظمة المتشابهة التي عمل عليها. كانت ولادة الهندسة الفركتلية هي إصدار كتابه "الهندسة الكسورية للطبيعة" في عام 1977. استند عمله على أعمال العلماء بوانكاريه ، فاتو ، جوليا ، كانتور وهاوسدورف ، الذين عملوا في عام 1875؟ عام 1925 في نفس المنطقة. لكن كان من الممكن دمج عملهم في نظام واحد فقط في عصرنا.

هل المفهوم "كسوري" مشتق من الكلمة اللاتينية "fractus"؟ تتكون من شظايا. يبدو أحد التعريفات كالتالي: "الفركتل هو بنية تتكون من أجزاء ، والتي ، بمعنى ما ، تشبه الكل."

قدم بينوا ماندلبروت ، في أعماله ، أمثلة حية على استخدام الفركتلات لتفسير بعضها ظاهرة طبيعية... لقد أولى اهتمامًا كبيرًا بممتلكات مثيرة للاهتمام يمتلكها العديد من الفركتلات. الحقيقة هي أنه في كثير من الأحيان يمكن تقسيم الفركتل إلى أجزاء صغيرة بشكل تعسفي بحيث يتضح أن كل جزء هو مجرد نسخة مصغرة من الكل. بعبارة أخرى ، إذا نظرنا إلى كسورية من خلال مجهر ، فسوف نفاجأ برؤية الصورة نفسها بدون مجهر. هذه الخاصية من التشابه الذاتي تميز بشكل حاد الفركتلات من كائنات الهندسة الكلاسيكية.

بالنسبة للعلماء المعاصرين ، دراسة الفركتلات؟ ليس مجرد مجال جديد للمعرفة. هذا هو اكتشاف نوع جديد من الهندسة يصف العالم من حولنا والذي يمكن رؤيته ليس فقط في الكتب المدرسية ، ولكن أيضًا في الطبيعة وفي الكون اللامحدود. في الوقت الحالي ، قام ماندلبروت وآخرون بتوسيع مجال الهندسة الكسورية بحيث يمكن تطبيقها على كل شيء تقريبًا في العالم ، من التنبؤ بالأسعار في سوق الأوراق المالية إلى اكتشافات جديدة في الفيزياء النظرية.

تصنيف الفركتلات

هناك تصنيفات مختلفة للفركتلات.

التصنيف الرئيسي للفركتلات هو التقسيم إلى هندسي وجبري.

الفركتلات الهندسية لها تشابه ذاتي دقيق ، بينما الفركتلات الجبرية لها تشابه ذاتي تقريبي.

هناك أيضًا تقسيم إلى فركتلات طبيعية ومن صنع الإنسان.

فركتلات من صنع الإنسان اخترعها العلماء ، ولها خصائص كسورية على أي نطاق. تقتصر الفركتلات الطبيعية على مساحة الوجود - أي الحجم الأقصى والأدنى الذي يكون فيه الكائن له خصائص كسورية.

أبسط الفركتلات هي الفركتلات الهندسية.

الفركتلات الهندسية

تسمى الفركتلات الهندسية أيضًا بالفركتلات الكلاسيكية أو القطعية أو الخطية. هم الأكثر وضوحا ، لأن لديهم ما يسمى التشابه الذاتي الصارم الذي لا يتغير عند تغيير المقياس. هذا يعني أنه بغض النظر عن مقدار التكبير على الفراكتل ، فإنك لا تزال ترى نفس النمط.

في حالة ثنائية الأبعاد ، يمكن الحصول على هذه الفركتلات من خلال تحديد خط متقطع معين يسمى المولد. في خطوة واحدة من الخوارزمية ، يتم استبدال كل مقطع من المقاطع المتعددة الخطوط (البادئ) بمولد متعدد الخطوط في المقياس المقابل. نتيجة التكرار اللانهائي لهذا الإجراء ، يتم الحصول على منحنى كسوري. على الرغم من التعقيد الواضح لهذا المنحنى ، إلا أن شكله يتحدد فقط من خلال شكل المولد.

أشهر الفركتلات الهندسية: منحنى كوخ ، منحنى مينكوفسكي ، منحنى ليفي ، منحنى التنين ، منديل وسجاد سيربينسكي ، دورر الخماسي.

رسم بعض الفركتلات الهندسية

1). منحنى كوخ.

اخترعها عالم رياضيات ألماني يدعى هيلج فون كوخ عام 1904. لبنائه ، يؤخذ جزء الوحدة، ينقسم إلى ثلاثة أجزاء متساوية ويتم استبدال الرابط الأوسط بمثلث متساوي الأضلاع بدون هذا الرابط. في الخطوة التالية ، نكرر العملية لكل من المقاطع الأربعة الناتجة. نتيجة التكرار اللانهائي لهذا الإجراء ، يتم الحصول على منحنى كسوري.

2). منديل Sierpinski.

في عام 1915 ، ابتكر عالم الرياضيات البولندي فاتسلاف سيربينسكي شيئًا مثيرًا للاهتمام. لتشييده ، يتم أخذ مادة صلبة مثلث متساوي الاضلاع... الخطوة الأولى تزيل مثلث متساوي الأضلاع معكوس من المركز. تزيل الخطوة الثانية ثلاثة مثلثات مقلوبة من المثلثات الثلاثة المتبقية ، وهكذا. وفقًا للنظرية ، لن تكون هناك نهاية لهذه العملية ، ولن يكون هناك مساحة للعيش في المثلث ، لكنها لن تتفكك إلى أجزاء أيضًا - ستحصل على كائن يتكون فقط من ثقوب.

3). تنين هارتر هاتواي.

تنين هارتر ، المعروف أيضًا باسم تنين هارتر هيتواي ، تم استكشافه لأول مرة من قبل علماء الفيزياء في ناسا؟ جون هايتواي وويليام هارتر وبروس بانكس. تم وصفه في عام 1967 من قبل مارتن جاردنر في عمود ألعاب الرياضيات في Scientific American.

يتم استبدال كل مقطع من مقاطع الخط في الخطوة التالية بقطعتين تشكلان الجوانب الجانبية من متساوي الساقين مثلث قائمالذي سيكون الجزء الأصلي هو الوتر. نتيجة لذلك ، ينحني المقطع بزاوية قائمة. اتجاه الانحراف بالتناوب. ينحني الجزء الأول إلى اليمين (على طول الحركة من اليسار إلى اليمين) ، والثاني - إلى اليسار ، والثالث - مرة أخرى إلى اليمين ، إلخ.

أمثلة على الفركتلات الهندسية

منحنىكوخمنديلسيربينسكي

التنينهارتر هاتواي

المجموعة الكبيرة الثانية من الفركتلات هي مجموعة جبرية. لقد حصلوا على اسمهم لأنهم بنيوا على أساس الصيغ الجبرية.

الفركتلات الجبرية

لا يمكن إنشاء الفركتلات المعقدة (الجبرية) بدون مساعدة الكمبيوتر. للحصول على نتائج ملونة ، يجب أن يحتوي هذا الكمبيوتر على معالج رياضي قوي وشاشة عالية الدقة. لقد حصلوا على اسمهم لأنهم بنيوا على أساس الصيغ الجبرية. نتيجة للمعالجة الرياضية لهذه الصيغة ، يتم عرض نقطة من لون معين على الشاشة. والنتيجة هي شكل غريب تتحول فيه الخطوط المستقيمة إلى منحنيات ، وتظهر تأثيرات التشابه الذاتي عند مستويات مختلفة من المقاييس ، على الرغم من عدم خلوها من التشوهات. تقريبًا كل نقطة على شاشة الكمبيوتر تشبه فراكتل منفصل.

أشهر الفركتلات الجبرية: مجموعات ماندلبروت وجوليا ، أحواض نيوتن.

الفركتلات الجبرية لها تشابه ذاتي تقريبي. في الواقع ، إذا قمت بتكبير مساحة صغيرة من أي كسور مركب ، ثم فعلت الشيء نفسه مع مساحة صغيرة من تلك المنطقة ، فسيختلف التكبيران بشكل كبير عن بعضهما البعض. ستكون الصورتان متشابهتين جدًا في التفاصيل ، لكنهما لن تكونا متطابقتين تمامًا.

جبري كسور

تقديرات مجموعة ماندلبروت

تجد الفركتلات المزيد والمزيد من التطبيقات في العلوم. السبب الرئيسي هو أنهم يصفون العالم الحقيقي بشكل أفضل من الفيزياء والرياضيات التقليدية.

تطبيق الفركتلات

1). نظرية الفوضى: ترتبط الفركتلات دائمًا بكلمة فوضى. تعرف نظرية الفوضى بأنها دراسة الأنظمة الديناميكية اللاخطية المعقدة. الفوضى هي عدم القدرة على التنبؤ. يحدث في الأنظمة الديناميكية عندما يتصرف النظام بشكل مختلف تمامًا بالنسبة لقيمتين أوليتين قريبتين جدًا. مثال على النظام الديناميكي الفوضوي هو الطقس. ومن الأمثلة على هذه الأنظمة التدفقات المضطربة ، والتجمعات البيولوجية ، والمجتمع وأنظمته الفرعية: الاقتصادية والسياسية وغيرها. الأنظمة الاجتماعية... أحد المفاهيم المركزية في هذه النظرية هو استحالة التنبؤ الدقيق بحالة النظام. لا تركز نظرية الفوضى على اضطراب النظام (عدم القدرة على التنبؤ الوراثي للنظام) ، ولكن على الترتيب الموروث منه (السلوك العام للأنظمة المماثلة). وهكذا ، فإن علم الفوضى هو نظام من الأفكار حول أشكال مختلفة من النظام ، حيث تصبح الصدفة مبدأ منظمًا.

2). الاقتصاد: تحليل سوق الأوراق المالية.

3). الفيزياء الفلكية: وصف لعمليات تجمع المجرات في الكون.

4). الجيولوجيا: دراسة خشونة المعادن.

5). رسم الخرائط: دراسة أشكال السواحل. دراسة شبكة واسعة من القنوات النهرية.

6). ميكانيكا السوائل والغازات ، فيزياء الأسطح:

- ديناميات واضطراب التدفقات المعقدة.

- نمذجة ألسنة اللهب ؛

7). علم الأحياء والطب:

- نمذجة مجموعات الحيوانات وهجرة الطيور ؛

- نمذجة الأوبئة ؛

- تحليل هيكل الدورة الدموية.

- مراعاة الأسطح المعقدة لأغشية الخلايا ؛

- وصف للعمليات داخل الجسم ، على سبيل المثال ، دقات القلب.

8). الهوائيات الفركتلية: كان المهندس الأمريكي ناثان كوهين ، الذي كان يعيش وقتها في وسط مدينة بوسطن ، حيث تم حظر تركيب الهوائيات الخارجية على المباني ، هو استخدام الهندسة الفركتلية في تصميم أجهزة الهوائيات. قام بقص منحنى كوخ من ورق الألمنيوم ولصقه بقطعة من الورق ، ثم ربطه بجهاز الاستقبال. اتضح أن مثل هذا الهوائي لا يعمل بشكل أسوأ من المعتاد. وعلى الرغم من أن المبادئ الفيزيائية لتشغيل مثل هذا الهوائي لم تتم دراستها بعد ، إلا أن هذا لم يمنع كوهين من تأسيس شركته الخاصة وإنشاء إنتاجها التسلسلي.

9). ضغط الصورة: تتمثل مزايا خوارزميات ضغط الصور الكسورية في حجم ملف معبأ صغير جدًا ووقت قصير لاستعادة الصور. ميزة أخرى للضغط الفركتلي هي أنه عندما يتم تكبير الصورة ، لا يتم ملاحظة تأثير البيكسل (زيادة حجم النقاط إلى أحجام تشوه الصورة). مع الضغط الفركتلي ، بعد التكبير ، تبدو الصورة في كثير من الأحيان أفضل من ذي قبل.

10). رسومات الكمبيوتر: تخضع رسومات الكمبيوتر حاليًا لفترة من التطوير المكثف. كانت قادرة على إعادة إنشاء مجموعة لا حصر لها من الأشكال الكسورية والمناظر الطبيعية على شاشة الشاشة ، مما أدى إلى غمر المشاهد في مساحة افتراضية مذهلة. في الوقت الحاضر ، باستخدام خوارزميات بسيطة نسبيًا ، أصبح من الممكن إنشاء صور ثلاثية الأبعاد للمناظر الطبيعية الرائعة والأشكال التي يمكن أن تتحول في الوقت المناسب إلى صور أكثر إثارة. يتم استغلال ميل الفركتلات لتشبه الجبال والزهور والأشجار من قبل بعض محرري الرسومات (على سبيل المثال ، السحب الكسورية من 3D studio MAX ، والجبال الكسورية في World Builder). تُستخدم نماذج الفركتال على نطاق واسع اليوم في ألعاب الكمبيوتر ، مما يخلق بيئة يصعب تمييزها بالفعل عن الواقع.

تميزت نهاية القرن العشرين ليس فقط باكتشاف الهياكل الجميلة اللافتة للنظر والمتنوعة اللامتناهي التي تسمى الفركتلات ، ولكن أيضًا بإدراك الطبيعة الكسورية للطبيعة. العالم من حولنا متنوع للغاية ، وأشياءه لا تتناسب مع الإطار الصلب للخطوط والأسطح الإقليدية.

الفركتلات والعالم من حولنا

« الجمال دائمًا نسبي ... لا ينبغي للمرء أن يفترض أن شواطئ المحيط عديمة الشكل بالفعل لمجرد أن شكلها يختلف عن الشكل العادي للأرصفة التي بنيناها ؛ لا يمكن اعتبار شكل الجبال خاطئًا على أساس أنها ليست مخاريط أو أهرامات عادية ؛ من حقيقة أن المسافات بين النجوم ليست هي نفسها ، لا يتبع ذلك أنها كانت مبعثرة عبر السماء بيد غير كفؤة. هذه المخالفات موجودة فقط في خيالنا. , في الواقع ، هم ليسوا كذلك ولا يتدخلون بأي شكل من الأشكال في المظاهر الحقيقية للحياة على الأرض ، لا في مملكة النباتات والحيوانات ولا بين الناس ". هذه الكلمات لعالم إنجليزي من القرن السابع عشر. يشهد ريتشارد بينتلي أن فكرة الجمع بين أشكال الخطوط الساحلية والجبال والأجرام السماوية ومعارضتها للإنشاءات الإقليدية قد نشأت في أذهان الناس لفترة طويلة جدًا.

قال جاليليو جاليلي إن "كتاب الطبيعة العظيم مكتوب بلغة الهندسة". الآن يمكننا أن نقول بثقة أنه مكتوب بلغة الهندسة الكسورية.

ما نلاحظه في الطبيعة غالبًا ما يثير اهتمامنا بالتكرار اللامتناهي لنفس النمط ، سواء تم تكبيره أو تصغيره عدة مرات كما نرغب. السواحل الغريبة وانحناءات الأنهار المعقدة ، وسلاسل الجبال المكسورة والمخططات السحابية ، وأغصان الأشجار المنتشرة والشعاب المرجانية ، وميض الشموع الخجولة ، وتيارات الأنهار الجبلية المتدفقة كلها فركتلات. بعضها ، مثل السحب أو الجداول العاصفة ، يغير شكله باستمرار ، والبعض الآخر ، مثل الأشجار أو سلاسل الجبال ، يحتفظ بهيكله دون تغيير. تشترك جميع أنواع الهياكل الفركتالية في التشابه الذاتي - الخاصية الرئيسية التي تضمن تحقيق القانون الأساسي في الفركتلات - قانون الوحدة في تنوع الكون.

الأنظمة والأعضاء البشرية هي أيضًا هياكل كسورية. على سبيل المثال ، تتفرع الأوعية الدموية عدة مرات ، أي هي كسورية بطبيعتها. النشاط الكهربائي للقلب هو عملية كسورية. اكتشف أطباء القلب أن الخصائص الطيفية لنبضات القلب تخضع لقوانين الفركتلات ، مثل الزلازل والظواهر الاقتصادية. في أنسجة الجهاز الهضمي ، يكون أحد الأسطح المتموجة مضمنًا في الآخر. تقدم الرئتان أيضًا مثالاً على كيفية حدوث ذلك ساحة كبيرة"مضغوط" في مساحة صغيرة. في الواقع ، إن بنية الجسم البشري بأكملها ذات طبيعة كسورية. لقد تم الاعتراف بهذا بالفعل من قبل العلماء. إن مبدأ البساطة المفردة ، الذي يحدد مركبًا متنوعًا ، مضمن في الجينوم البشري ، عندما تحتوي خلية واحدة من الكائن الحي على معلومات حول الكائن الحي بأكمله.

هياكل كسورية في الطبيعة

فيما يلي بعض الصور النموذجية:

كما قال عالم الأحياء جون هالدين ، "العالم ليس فقط أكثر غرابة مما نعتقد ، ولكنه أكثر غرابة مما نتخيله." الفركتلات ليست من اختراعات ماندلبروت. هم موجودون بشكل موضوعي. في الأشكال والعمليات الطبيعية ، في العلم والفن ، التي تعكس وتدرك هذا العالم. تم منح بنوا ماندلبروت في عام 1993 على وجه التحديد "لتغيير نظرتنا إلى العالم بفضل أفكار الهندسة الكسورية". جائزة فخريةالذئب في الفيزياء.

تحظى اللوحات الفركتالية بشعبية كبيرة في الوقت الحاضر. إنهم يتركون انطباعًا رائعًا تمامًا. العديد من الخطوط الرفيعة التي تشكل كلًا واحدًا أو عناصر غير عادية تتشابك في صورة واحدة. ومضات من الضوء الساطع وخطوط ناعمة معتدلة. يبدو أن الفركتل على قيد الحياة. إنه يحترق ، يحترق ، يغري ، ولا يمكنك أن تغمض عينيك عنه ، وتدرس حتى أصغر التفاصيل وأقلها أهمية.

رسومات كسورية

لوحات كسورية في الداخل

تطبيق الفركتلات

علوم طبيعية

في الفيزياء ، تنشأ الفركتلات بشكل طبيعي عند نمذجة العمليات غير الخطية مثل تدفق السوائل المضطرب ، وعمليات الانتشار والامتصاص المعقدة ، واللهب ، والسحب ، وما شابه ذلك. تستخدم الفركتلات لنمذجة المواد المسامية مثل البتروكيماويات. في علم الأحياء ، يتم استخدامها لنمذجة السكان ولوصف أنظمة الأعضاء الداخلية (نظام الأوعية الدموية). بعد إنشاء منحنى كوخ ، اقترح استخدامه عند حساب طول الخط الساحلي.

هندسة الراديو

تم تطبيق استخدام الهندسة الفركتلية في تصميم أجهزة الهوائي لأول مرة من قبل المهندس الأمريكي ناثان كوهين ، الذي عاش بعد ذلك في وسط مدينة بوسطن ، حيث تم حظر تركيب الهوائيات الخارجية على المباني. قام ناثان بقص منحنى كوخ من رقائق الألومنيوم ولصقه على قطعة من الورق ، ثم ربطه بجهاز الاستقبال. أسس كوهين شركته الخاصة وبدأ إنتاجها التسلسلي.

علوم الكمبيوتر

ضغط الصور

شجرة كسورية

توجد خوارزميات لضغط الصور باستخدام الفركتلات. إنها تستند إلى فكرة أنه بدلاً من الصورة نفسها ، يمكنك تخزين تعيين مضغوط ، حيث تكون هذه الصورة (أو بعضها قريبًا منها) نقطة ثابتة. تم استخدام أحد متغيرات هذه الخوارزمية بواسطة Microsoft عند نشر موسوعتها ، ولكن لم يتم استخدام هذه الخوارزميات على نطاق واسع.

رسومات الحاسوب

تُستخدم الفركتلات على نطاق واسع في رسومات الكمبيوتر لإنشاء صور لأشياء طبيعية مثل الأشجار والشجيرات والمناظر الطبيعية للجبال وأسطح البحر وما إلى ذلك. هناك العديد من البرامج لتوليد صور كسورية.

لامركزيةالشبكة

نظام تعيين عناوين IP في شبكة Netsukuku (هذه الشبكة عبارة عن مشروع لإنشاء شبكة نظير إلى نظير موزعة ذاتي التنظيم قادرة على ضمان تفاعل عدد كبير من العقد مع الحد الأدنى من الحمل على المعالج المركزي والذاكرة) يستخدم مبدأ ضغط المعلومات الكسورية لتخزين المعلومات بشكل مضغوط حول عقد الشبكة. تخزن كل عقدة في شبكة Netsukuku 4 كيلوبايت فقط من المعلومات حول حالة العقد المجاورة ، بينما تتصل أي عقدة جديدة بالشبكة العامة دون الحاجة إلى تنظيم مركزي لتوزيع عناوين IP ، والتي ، على سبيل المثال ، هي سمة من سمات إنترنت. وبالتالي ، فإن مبدأ ضغط المعلومات الكسورية يضمن عملية لامركزية تمامًا ، وبالتالي التشغيل الأكثر استقرارًا للشبكة بأكملها.

الاقتصاد والتمويل

أ. ألمازوف في كتابه "نظرية الفركتل". كيفية تغيير وجهة نظر الأسواق "اقترح طريقة لاستخدام الفركتلات في تحليل أسعار الأسهم ، على وجه الخصوص ، في سوق الفوركس.

في كل مرة ، بالنظر إلى الفركتلات ، يفكر المرء في مدى جمال العالم الحقيقي وعالم الرياضيات ، وأن الرياضيات هي بالفعل لغة يمكنها وصف كل شيء موجود في الكون تقريبًا.

قائمة ببليوغرافية

1. ماندلبروت ب. الهندسة الكسورية للطبيعة. م: "معهد بحوث الحاسوب" 2002. 656 ص.

2. موروزوف أ. مقدمة في نظرية الفركتلات. ن. نوفغورود: دار النشر في نيجني نوفغورود. جامعة 1999140 ص.

3. Peitgen H.-O. ، ريختر P. H. جمال الفركتلات. م: "مير" ، 1993. - 176 ص.

4. تيخوبلاف في يو ، تيخوبلاف ت. انسجام الفوضى ، أو الواقع الكسوري. سانت بطرسبرغ: دار النشر فيس ، 2003.340 ص.

5. فيدر إي. فركتلس. م: "مير" ، 1991. 254 ص.

6. شرودر إم النمطي هندسي متكرر ، الفوضى ، قوانين السلطة. المنمنمات من الجنة التي لا نهاية لها. إيجيفسك: "RKhD" ، 2001.528 ص.

قائمة المواقع حول الفركتلات

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.narod.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

تم النشر في Allbest.ru

وثائق مماثلة

اعتبار البعد الكسري كأحد خصائص السطح الهندسي. وصف الفركتلات الطبيعية. قياس طول الخط غير المستوي (المكسور). التشابه والقياس والتشابه الذاتي وتقارب الذات. نسبة محيط المساحة.

الاختبار ، تمت إضافة 12/23/2015


تاريخ ظهور نظرية الفركتلات. الفركتل هو هيكل متشابه ذاتيًا لا تعتمد صورته على المقياس. هذا نموذج تكراري ، يكرر كل جزء منه في تطوره تطوير النموذج بأكمله. تطبيق عملي لنظرية الفركتلات.

عمل علمي ، أضيف بتاريخ 05/12/2010


الفركتلات الكلاسيكية. التشابه الذاتي. ندفة الثلج كوخ. سجادة سيربينسكي. أنظمة L. ديناميات الفوضى. جاذب لورنز. مجموعات ماندلبروت وجوليا. تطبيق الفركتلات في تكنولوجيا الكمبيوتر.

تمت إضافة ورقة مصطلح في 05/26/2006


علامات بعض المربعات. تنفيذ نماذج المواقف الهندسية في بيئات الهندسة الديناميكية. ملامح البيئة الديناميكية "الهندسة الحية" ، ملامح بناء نماذج متوازي الأضلاع ، المعين ، المستطيل والمربع فيها.

ورقة مصطلح ، تمت الإضافة في 05/28/2013


الصورة الهندسية للعالم والشروط المسبقة لظهور نظرية الفركتلات. عناصر نظام L القطعي: الأبجدية ، وكلمة التهيئة ، ومجموعة من القواعد التوليدية. الخصائص الكسورية للعمليات الاجتماعية: التآزر وديناميكيات الفوضى.

ورقة المصطلح ، تمت إضافة 2014/03/22


دراسة تجليات القوانين الهندسية في الطبيعة الحية واستخدامها في التعليم الأنشطة العملية... وصف القوانين الهندسية وجوهر التراكيب الهندسية. تعليم الجرافيكومكانتها في العالم الحديث.

تمت إضافة أطروحة 06/24/2010


تعريف مفهوم النموذج وضرورة تطبيقه في العلم والحياة اليومية. خصائص طرق المواد والنمذجة المثالية. تصنيف النماذج الرياضية (القطعية ، العشوائية) ، مراحل عملية بنائها.

تمت إضافة الملخص بتاريخ 08/20/2015


دراسة مفهوم التناظر والتناسب والتناسب والتوحيد في ترتيب الأجزاء. خصائص الخصائص المتماثلة للأشكال الهندسية. وصف لدور التناظر في العمارة والطبيعة والتكنولوجيا في حل المشكلات المنطقية.

تمت إضافة العرض بتاريخ 12/06/2011


تاريخ رياضيات العلوم. الطرق الأساسية للحساب. حدود ومشاكل الرياضيات. ترتبط مشاكل تطبيق الأساليب الرياضية في العلوم المختلفة بالرياضيات نفسها (الدراسة الرياضية للنماذج) ، بمجال النمذجة.

الملخص ، تمت إضافة 05.24.2005


مفهوم وتاريخ دراسة النسبة الذهبية. ملامح انعكاسها في الرياضيات والطبيعة والعمارة والرسم. ترتيب ومبادئ البناء والهيكل ومجالات التطبيق العملي للقسم الذهبي والتبرير الرياضي والأهمية.

إرسال عملك الجيد في قاعدة المعرفة أمر بسيط. استخدم النموذج أدناه

سيكون الطلاب وطلاب الدراسات العليا والعلماء الشباب الذين يستخدمون قاعدة المعرفة في دراساتهم وعملهم ممتنين جدًا لك.

تم النشر على http://www.allbest.ru

• مقدمة
• 1. مفهوم الفركتل
• 2. تصنيف الفركتلات
• 4. تطبيق الفركتلات
• استنتاج
• قائمة الأدب المستخدم

مقدمة

لم يكن ظهور الأشياء الرياضية المتشابهة ذاتيا منذ مائة عام أو أكثر مهتمًا بأي شخص تقريبًا ، فقد كانت تهم مؤلفي هذه الأشياء فقط. علاوة على ذلك ، أطلق عليها بعض العلماء لقب "الوحوش" ولم يعتقدوا أن لهم علاقة بها العالم الحقيقيوالعلوم.

تغير الموقف تجاه الأشياء الرياضية المتشابهة مع ظهور أجهزة الكمبيوتر ، عندما ظهرت الصور الأولى للفركتلات الجبرية والستوكاستيكية. بعد ذلك مباشرة ، لم يهتموا بعلماء الرياضيات فحسب ، بل اهتموا أيضًا بالفيزيائيين وعلماء الأحياء وعلماء الصوت وكل من صادف أشياء طبيعية في عملهم. جذبت الفركتلات علماء الرياضيات من خلال بساطة الصيغ التي تصف ذلك الهياكل المعقدة، علماء الفيزياء - فرصة لمراجعة الفيزياء من موقع جديد ، علماء الأحياء - عن طريق مطابقة صور الفركتلات مع كائنات بيولوجية مختلفة.

الفركتلات لم تستنفد نفسها بعد ، تم العثور على الأجسام الكسورية في مجالات علمية جديدة. يتم استخدامها من قبل علماء الفيزياء وعلماء الأحياء وعلماء الاجتماع والاقتصاديين وغيرهم الكثير. لم يتم دراسة الفركتلات بشكل كامل ، فقد وجدوا جميع التطبيقات الجديدة التي تغير موقفنا ، سواء تجاه الفركتلات نفسها أو تجاه الطبيعة.

موضوع العمل هو ظاهرة الفركتلات.

موضوع العمل هو مكان الفركتلات في العلم الحديث.

الغرض من هذا العمل هو اعتبار الفركتلات كظواهر بسيطة ومعقدة.

أهداف العمل: النظر في مفهوم الفركتلات ، أنواع الفركتلات ، تاريخ ظهور الفركتلات ودراستها ، استخدام الفركتلات في الممارسة.

1. مفهوم الفركتل

أصبحت مفاهيم الهندسة الفركتلية والفركتلية ، التي ظهرت في أواخر السبعينيات ، راسخة من قبل علماء الرياضيات والمبرمجين منذ منتصف الثمانينيات من القرن العشرين. تتكون كلمة كسورية من اللاتينية fractus وفي وسائل الترجمة تتكون من شظايا Mandelbrot B. الهندسة الكسورية للطبيعة ، ص 5 - م: معهد علوم الكمبيوتر ، 2002 .. اقترح بينوا ماندلبروت في عام 1975 تعيين هياكل غير منتظمة ولكنها متشابهة ذاتيًا ، والتي كان يعمل فيها. Mandelbrot B. Fractal geometry of Nature، p.5 - M.: Institute of Computer Research، 2002 .. ترتبط ولادة الهندسة الكسورية عادةً بنشر كتاب ماندلبروت The Fractal Geometry of Nature في عام 1977. واستخدمت أعماله النتائج العلمية لعلماء آخرين عملوا في الفترة من 1875 إلى 1925 في نفس المجال (بوانكاريه ، فاتو ، جوليا ، كانتور ، هاوسدورف ولكن فقط في عصرنا كان من الممكن دمج عملهم في نظام واحد.

إن دور الفركتلات في رسومات الكمبيوتر اليوم كبير جدًا. يأتون للإنقاذ ، على سبيل المثال ، عندما يكون ذلك مطلوبًا ، بمساعدة العديد من المعاملات ، لتحديد الخطوط والأسطح ذات الأشكال المعقدة للغاية. من وجهة نظر رسومات الكمبيوتر ، لا غنى عن الهندسة الكسورية لتوليد السحب الاصطناعية والجبال وأسطح البحر. في الواقع ، تم العثور على طريقة لتمثيل الأشياء المعقدة غير الإقليدية بسهولة ، والتي تكون صورها مشابهة جدًا للأشياء الطبيعية.

التشابه الذاتي هو أحد الخصائص الرئيسية للفركتلات. في أبسط الحالات ، يحتوي جزء صغير من الفراكتل على معلومات حول الفراكتل بأكمله.

يبدو تعريف الفركتل ، الذي قدمه ماندلبروت ، على النحو التالي: "الفركتل هو هيكل يتكون من أجزاء ، والتي تشبه إلى حد ما الكل" فيدر إي. فركتلات.: مير 1991 ، ص 67.

وتجدر الإشارة إلى أن كلمة "كسورية" ليست مصطلحًا رياضيًا وليس لها تعريف رياضي صارم مقبول بشكل عام. يمكن استخدامه عندما يحتوي الشكل المعني على أي من الخصائص التالية:

1. لديها بنية غير تافهة على جميع المستويات. هذا على النقيض من الأشكال العادية (مثل دائرة ، قطع ناقص ، رسم بياني لوظيفة سلسة): إذا أخذنا في الاعتبار جزءًا صغيرًا من شكل منتظم على مقياس كبير جدًا ، فسيبدو مثل جزء من خط مستقيم. بالنسبة للفركتلات ، لا تؤدي الزيادة في الحجم إلى تبسيط الهيكل ؛ سنرى على جميع المقاييس صورة معقدة بنفس القدر.

2. متشابهة مع الذات أو متشابهة تقريبًا.

3. لها بُعد متري كسري أو بُعد متري يتجاوز البعد الطوبولوجي.

4. يمكن بناؤها باستخدام إجراء تكراري Feder E. Fractals.: Mir 1991 ، ص 133.

العديد من الكائنات في الطبيعة لها خصائص كسورية ، مثل السواحل والسحب وتيجان الأشجار والجهاز الدوري والنظام السنخي للإنسان أو الحيوان.

تشتهر الفركتلات ، خاصة على متن الطائرة ، بدمجها بين الجمال وبساطة البناء باستخدام الكمبيوتر.

الفركتلات هي في الأساس لغة الهندسة. ومع ذلك ، لا يمكن الوصول إلى عناصرها الرئيسية للمراقبة المباشرة. في هذا الصدد ، تختلف اختلافًا جوهريًا عن الكائنات المعتادة في الهندسة الإقليدية ، مثل الخط المستقيم أو الدائرة. لا يتم التعبير عن الفركتلات في الأشكال الهندسية الأولية ، ولكن في الخوارزميات ، مجموعات من الإجراءات الرياضية.

يتم تحويل هذه الخوارزميات إلى الأشكال الهندسيةباستخدام الكمبيوتر. ذخيرة العناصر الخوارزمية لا تنضب. بعد إتقان لغة الفركتلات ، يمكنك وصف شكل السحابة بوضوح وببساطة كما يصف المهندس المعماري مبنى باستخدام المخططات التي تستخدم لغة الهندسة التقليدية.

2. تصنيف الفركتلات

الفركتلات الهندسية. الفركتلات من هذه الفئة هي الأكثر توضيحًا. في الحالة ثنائية الأبعاد ، يتم الحصول عليها باستخدام بعض الخطوط المتعددة (أو السطح في الحالة ثلاثية الأبعاد) ، والتي تسمى المولد. في خطوة واحدة من الخوارزمية ، يتم استبدال كل جزء من الأجزاء المكونة للخط متعدد الخطوط بمولد متعدد الخطوط ، بالمقياس المناسب. نتيجة التكرار اللانهائي لهذا الإجراء ، يتم الحصول على كسورية هندسية.

الفركتلات الجبرية. هذه هي أكبر مجموعة من الفركتلات. يتم الحصول عليها باستخدام عمليات غير خطية في فضاءات ذات أبعاد n. الأكثر دراسة هي العمليات ثنائية الأبعاد. عند تفسير عملية تكرارية غير خطية كنظام ديناميكي منفصل ، يمكن للمرء استخدام مصطلحات نظرية هذه الأنظمة: صورة الطور ، عملية الحالة المستقرة ، الجاذب ، إلخ.

من المعروف أن الأنظمة الديناميكية غير الخطية لها العديد من الحالات المستقرة. تعتمد الحالة التي يجد فيها النظام الديناميكي نفسه بعد عدد معين من التكرارات على حالته الأولية. لذلك ، فإن كل حالة مستقرة (أو ، كما يقولون ، جاذب) لها منطقة معينة من الحالات الأولية ، والتي سيقع النظام منها بالضرورة في الحالات النهائية قيد الدراسة. وبالتالي ، فإن فضاء الطور في النظام مقسم إلى مناطق جذب للجاذبين. إذا كان الفضاء ثنائي الأبعاد عبارة عن مساحة طور ، فعندئذٍ عن طريق تلوين مناطق الجذب بألوان مختلفة ، يمكن للمرء الحصول على صورة طور لونية لهذا النظام (عملية تكرارية). عن طريق تغيير خوارزمية اختيار اللون ، يمكنك الحصول على لوحات كسورية معقدة مع أنماط غريبة متعددة الألوان. كانت مفاجأة علماء الرياضيات هي القدرة على إنشاء هياكل معقدة للغاية وغير تافهة باستخدام خوارزميات بدائية.

الفركتلات الدراسية. غالبًا ما يكون للأجسام الطبيعية الناتجة عن عمليات عشوائية معقدة شكل كسوري. يمكن استخدام الفركتلات العشوائية (العشوائية) لتصميمها. أمثلة على الفركتلات العشوائية:

1. مسار الحركة البراونية على متن الطائرة وفي الفضاء.

2. حدود مسار الحركة البراونية على الطائرة. في عام 2001 ، أثبت لولر وشرام وفيرنر تخمين ماندلبورت بأن البعد هو 4/3.

3. تطور Schramm-Löwner - منحنيات كسورية ثابتة مطابقة تنشأ في نماذج ثنائية الأبعاد للميكانيكا الإحصائية ، على سبيل المثال ، في نموذج Ising و percolation.

4. أنواع مختلفة من الفركتلات العشوائية ، أي الفركتلات التي تم الحصول عليها باستخدام إجراء تكراري ، حيث يتم إدخال معلمة عشوائية في كل خطوة. البلازما هي مثال على استخدام مثل هذا الفراكتل في رسومات الحاسوب.

النمط الأحادي الكسوري ، أو النمط العشوائي - الاتجاهات في الفنون المرئية ، والتي تتكون من الحصول على صورة كسورية عشوائية شرودر م. المنمنمات من الجنة التي لا نهاية لها. - إيجيفسك: RKhD ، 2001 ، ص .26.

3. تاريخ ظهور الفركتلات

من الجدير بالذكر أن ظهور الفركتلات (التي لم تحصل بعد على هذا الاسم) في الأدبيات الرياضية منذ حوالي مائة عام قوبل بعداء مؤسف ، كما حدث في تاريخ تطور العديد من الأفكار الرياضية الأخرى. واحد عالم رياضيات مشهور، تشارلز هيرمايت ، حتى تعمدهم الوحوش. على أقل تقدير ، اعترف الرأي العام بهم على أنهم علم أمراض مهم فقط للباحثين الذين يسيئون استخدام المراوغات الرياضية ، وليس للعلماء الحقيقيين.

نتيجة لجهود بينوا ماندلبروت ، تغير هذا الموقف ، وأصبحت الهندسة الفركتلية علمًا تطبيقيًا محترمًا. صاغ ماندلبروت مصطلح الفركتلات بناءً على نظرية هوسدورف للبعد الكسري (الكسري) المقترحة في عام 1919. قبل عدة سنوات من نشر كتابه الأول عن الهندسة الكسورية ، بدأ ماندلبروت في البحث عن مظهر الوحوش والأمراض الأخرى في الطبيعة. وجد مكانًا مناسبًا لمجموعات كانتور سيئة السمعة ، ومنحنيات Peano ، ووظائف Weierstrass وأنواعها العديدة ، والتي كانت تعتبر هراء. اكتشف هو وطلابه العديد من الفركتلات الجديدة ، على سبيل المثال ، الحركة البراونية الكسورية لنمذجة المناظر الطبيعية للغابات والجبال ، والتقلبات في مستويات الأنهار ونبضات القلب. مع نشر كتبه ، بدأت تطبيقات الهندسة الكسورية تظهر مثل عيش الغراب بعد المطر. أثر هذا على العديد من العلوم التطبيقية والرياضيات البحتة. حتى صناعة السينما لم تقف جانبا. أعجب ملايين الأشخاص بالمناظر الطبيعية الجبلية في فيلم "Star Migration II: The Wrath of the Khan" ، الذي تم إنشاؤه بمساعدة فركتلات Peitgen H.-O. و Richter P. Kh. The Beauty of Fractals. - م: مير 1993 ، ص 45.

كان عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه رائداً في البحث في الديناميات غير الخطية حوالي عام 1890 ، مما أدى إلى ظهور نظرية الفوضى الحديثة. زاد الاهتمام بالموضوع بشكل ملحوظ عندما اكتشف إدوارد لورنز ، الذي كان يعمل في نمذجة الطقس غير الخطية ، في عام 1963 أن التنبؤات الجوية بعيدة المدى كانت مستحيلة. وأشار لورنز إلى أنه حتى الأخطاء الصغيرة في قياس معلمات الحالة الحالية لأحوال الطقس يمكن أن تؤدي إلى تنبؤات غير صحيحة تمامًا حول حالة الطقس في المستقبل. هذا الاعتماد الكبير على الظروف الأولية يكمن وراءه النظرية الرياضيةفوضى.

تعد مسارات الجسيمات للحركة البراونية ، التي درسها روبرت براون في عام 1828 وألبرت أينشتاين في عام 1905 ، أمثلة على منحنيات كسورية ، على الرغم من أن وصفها الرياضي لم يقدم إلا في عام 1923 من قبل نوربرت وينر. في عام 1890 ، أنشأ Peano منحنىه الشهير - خريطة متصلة تحول مقطعًا إلى مربع ، وبالتالي تزيد من أبعاده من واحد إلى اثنين. تعد حدود ندفة الثلج Koch (1904) ، التي يبلغ أبعادها d »1.2618 ، منحنى آخر معروف جيدًا يزيد من الأبعاد.

الفركتل الذي لا يشبه المنحنى بأي حال من الأحوال ، والذي أطلق عليه ماندلبروت الغبار ، هو مجموعة كانتور الكلاسيكية (1875 أو ما قبله). هذه المجموعة متفرقة لدرجة أنها لا تحتوي على فترات زمنية ، ولكنها مع ذلك تحتوي على عدد من النقاط مثل الفاصل الزمني. استخدم ماندلبروت هذا الغبار لنمذجة الضوضاء الثابتة في المهاتفة. يظهر الغبار الكسري من نوع أو آخر في العديد من المواقف. في الواقع ، إنها كسورية عالمية بمعنى أن أي فركتلي - جاذب لنظام وظائف متكررة - هو إما غبار كسوري أو إسقاطه على مساحة ذات بعد منخفض H.-O. Peitgen ، P. Richter ، p . 22.

تم استخدام فركتلات الأشجار المختلفة ليس فقط لنمذجة الأشجار والنباتات ، ولكن أيضًا لشجرة الشعب الهوائية (الفروع الحاملة للهواء في الرئتين) ، ووظائف الكلى ، والدورة الدموية ، وما إلى ذلك. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ افتراض ليوناردو دافنشي أن جميع الأشجار الفروع عند ارتفاع معين ، مطوية معًا ، متساوية في سمك الجذع (أقل من مستواها). من هنا يتبع نموذج كسوري لتاج شجرة على شكل سطح كسوري.

عديدة خصائص رائعةيتم الكشف عن الفركتلات والفوضى عند دراسة التعيينات المتكررة. في هذه الحالة ، يبدأون ببعض الوظائف y = f (x) ويفكرون في سلوك التسلسل f (x) ، f (f (x)) ، f (f (f (x))) ، ... في المستوى المعقد ، يعود هذا النوع من العمل ، على الأرجح ، إلى اسم كايلي ، الذي بحث في طريقة نيوتن لإيجاد جذر كما هو مطبق على الدوال المعقدة ، وليس الحقيقية فقط (1879). تقدم ملحوظ في دراسة تكررت تعيينات معقدةحققه غاستون جوليا وبيير فاتو (1919). وبطبيعة الحال ، تم عمل كل شيء بدون مساعدة رسومات الكمبيوتر. في الوقت الحاضر ، رأى الكثيرون بالفعل ملصقات ملونة تصور * مجموعات جوليا ومجموعة ماندلبروت ، المرتبطة بها ارتباطًا وثيقًا. من الطبيعي البدء في إتقان النظرية الرياضية للفوضى باستخدام التعيينات المتكررة.

تفتح دراسة الفركتلات والفوضى إمكانيات رائعة ، سواء في دراسة عدد لا حصر له من التطبيقات أو في مجال الرياضيات البحتة. ولكن في الوقت نفسه ، كما يحدث غالبًا في ما يسمى بالرياضيات الجديدة ، تستند الاكتشافات إلى العمل الرائد لعلماء الرياضيات العظماء في الماضي. فهم السير إسحاق نيوتن ذلك قائلاً: "إذا رأيت أبعد من الآخرين ، فذلك فقط لأنني وقفت على أكتاف عمالقة".

4. تطبيق الفركتلات

رسومات الحاسوب

تُستخدم الفركتلات على نطاق واسع في رسومات الكمبيوتر لإنشاء صور للأشياء الطبيعية ، مثل الأشجار والشجيرات والمناظر الطبيعية للجبال وأسطح البحر وما إلى ذلك.

الفيزياء والعلوم الطبيعية الأخرى

في الفيزياء ، تنشأ الفركتلات بشكل طبيعي عند نمذجة العمليات غير الخطية ، مثل تدفق السوائل المضطرب ، وعمليات الانتشار العشوائية المعقدة ، والامتزاز ، واللهب ، والسحب ، وما إلى ذلك. كما تستخدم الفركتلات عند نمذجة المواد المسامية ، على سبيل المثال ، في البتروكيماويات. في علم الأحياء ، يتم استخدامها لنمذجة السكان ولوصف أنظمة الأعضاء الداخلية (نظام الأوعية الدموية).

المؤلفات

من بين الأعمال الأدبية ، يجد المرء تلك التي لها طبيعة نصية أو هيكلية أو دلالية. من المحتمل أن تكرر الفركتلات النصية عناصر النص إلى ما لا نهاية:

1. شجرة لا نهاية لها غير متفرعة ، متطابقة مع نفسها من أي تكرار ("كان للكاهن كلب ..." ، "مثل الفيلسوف الذي يحلم أنه فراشة تحلم بأنها فيلسوفة تحلم .. . "البيان صحيح أن البيان خاطئ ...").

2. نصوص لا نهاية لها غير متفرعة مع اختلافات ("كان لدى Peggy أوزة مضحكة ...") ونصوص ذات امتدادات ("المنزل الذي بناه جاك").

3. في الفركتلات الهيكلية ، يكون مخطط النص كسوريًا على الأرجح

4. إكليل السوناتات (15 قصيدة) ، إكليل السوناتات (211 قصيدة) ، إكليل أكاليل السوناتات (2455 قصيدة).

5. "قصص في قصة" ("كتاب ألف ليلة وليلة" ، ج. بوتوكي "المخطوطة الموجودة في سرقسطة").

6. مقدمات لإخفاء التأليف (يو إيكو "اسم الوردة").

في الفركتلات الدلالية والسردية ، يتحدث المؤلف عن التشابه اللانهائي لجزء من الكل

جيه إل بورخيس "في دائرة الأنقاض"

كورتازار "زهرة صفراء"

J.Perek "Kunstkamera"

هوائيات كسورية.

تم تطبيق استخدام الهندسة الفركتلية في تصميم أجهزة الهوائي لأول مرة من قبل المهندس الأمريكي ناثان كوهين ، الذي عاش بعد ذلك في وسط مدينة بوسطن ، حيث تم حظر تركيب الهوائيات الخارجية على المباني. قام ناثان بقص منحنى كوخ من رقائق الألومنيوم ولصقه على قطعة من الورق ، ثم ربطه بجهاز الاستقبال. اتضح أن مثل هذا الهوائي لا يعمل بشكل أسوأ من المعتاد. وعلى الرغم من أن المبادئ الفيزيائية لتشغيل مثل هذا الهوائي لم تتم دراستها بعد ، إلا أن هذا لم يمنع كوهين من تأسيس شركته الخاصة وإنشاء إنتاجها التسلسلي.

ضغط الصور.

توجد خوارزميات لضغط الصور باستخدام الفركتلات. وهي تستند إلى فكرة أنه بدلاً من الصورة ، من الممكن تخزين مخطط ضغط تكون هذه الصورة نقطة ثابتة له.

الشبكات اللامركزية.

يستخدم نظام تعيين عنوان IP الخاص بـ Netsukuku مبدأ ضغط المعلومات الكسورية لتخزين المعلومات بشكل مضغوط حول عقد الشبكة. تخزن كل عقدة في شبكة Netsukuku 4 كيلوبايت فقط من المعلومات حول حالة العقد المجاورة ، بينما تتصل أي عقدة جديدة بالشبكة العامة دون الحاجة إلى تنظيم مركزي لتوزيع عناوين IP ، والتي ، على سبيل المثال ، هي سمة من سمات إنترنت. وبالتالي ، فإن مبدأ ضغط المعلومات الكسورية يضمن عملية لامركزية تمامًا ، وبالتالي التشغيل الأكثر استقرارًا للشبكة بأكملها.

استنتاج

يعتقد معظم الناس أن الفركتلات هي مجرد صور جميلة تسعد العين. لحسن الحظ ، ليس هذا هو الحال ، وتستخدم الفركتلات في العديد من مجالات النشاط البشري. يوجد بالفعل أساس نظري لإنشاء مجالات جديدة لتطبيقها ، مثل تشخيص الأمراض ، والتنبؤ بالضرر أثناء التأثير الديناميكي ، وغيرها الكثير. ولكن ، على الرغم من عدم الاستنفاد النظري لاستخدام الفركتلات ، يمكن افتراض أنه بمرور الوقت ، ستظهر الاتجاهات الرئيسية لتطبيقها.

مرت عقود قليلة فقط منذ أن قال بينوا ماندلبروت: "هندسة الطبيعة كسورية!"

الاستنتاجات:

1. طبيعة الفركتلات تمت دراستها بعناية من قبل العلماء

2. في المستقبل ، بمساعدة الفركتلات ، سيتم حل العديد من المشاكل في الطب ، في صناعة الكمبيوتر ، في العلوم ، وما إلى ذلك.

قائمة الأدب المستخدم

رسومات طبيعية كسورية

1. ماندلبروت ب. الهندسة الكسورية للطبيعة. - م: معهد بحوث الحاسب 2002.

2. Peitgen H.-O. ، ريختر P. H. جمال الفركتلات. - م: مير ، 1993.

3. Feder E. Fractals-M.: Mir، 1991.

4. شرودر إم النمطي هندسي متكرر ، الفوضى ، قوانين السلطة. المنمنمات من الجنة التي لا نهاية لها. - إيجيفسك: RKhD ، 2001.

تم النشر في Allbest.ru

وثائق مماثلة

الفركتل كمجموعة ، يختلف أبعادها عن البعد المعتاد ، المسمى الطوبولوجي. مبادئ وشروط تشكيل نظام مناسب حسب بحث ماندلبروت. أنواع ومعنى الفركتلات ، المراحل الرئيسية لتطورها.

الاختبار ، تمت إضافة 2015/02/19


جوهر المفاهيم الحديثة لنسبية المكان والزمان في النظريات الخاصة والعامة. مساحة تاريخية مفرطة الترتيب الزمني ، تسارع الزمن التاريخي. الكشف عن مفاهيم التفرع ، الفركتلات ، الجاذبات ، عوامل الصدفة.

الاختبار ، تمت الإضافة في 12/10/2009


العلوم الإنسانية والتقنية والرياضية أنواع المعرفة والعلوم الطبيعية في النظام الحديثالمعرفه. دور وأهمية الرياضيات والفيزياء في معرفة العالم. الموقف من الطبيعة في الطبيعة و العلوم الإنسانية... مشكلة المواجهة بين العلم والدين.

الملخص ، تمت الإضافة 11/26/2011


تطور العلوم الطبيعية في العصور الوسطى ومكانة ودور الكنيسة في الدولة. بناء نظرية بنية الذرة على أساس النموذج الكوكبي. تطور علم الفلك وخصائص المجرات. نظريات أصل الحياة على الأرض. فرضيات أصل الأجناس.

الاختبار ، تمت إضافة 09/14/2009


أبقراط مؤسس الطب السريري الحديث. جدارة علماء العصور القديمة في تطوير العلوم الطبيعية. محتوى القوانين الأساسية للديالكتيك ، واستخدام طرق البحث الديالكتيكية. قانون الانتقال من الكم إلى الكيف.

الاختبار ، تمت الإضافة بتاريخ 04/03/2011


التآزر كنظرية للأنظمة ذاتية التنظيم في العصر الحديث العالم العلمي... تاريخ ومنطق ظهور نهج تآزري في العلوم الطبيعية. تأثير هذا النهج على تطور العلم. الأهمية المنهجية للتآزر في العلوم الحديثة.

تمت إضافة الملخص في 12/27/2016


الخصائص العامةبكتيريا. هيكلها والتكاثر والتغذية. مفهوم الموارد الطبيعية وخصائصها. هيكل وأهمية الجهاز الهضمي. التصنيف الاقتصادي الموارد الطبيعية... هيكل جدار القناة الهضمية.

الاختبار ، تمت إضافة 10/09/2012


اتجاهات التنمية في مجال الصناعة ، الطاقة ، اقتصاد وطنيحاليا. التحولات في مجال العلوم. عواقب تطور التكنولوجيا الحيوية ، التطورات في العلوم الطبيعية. العمليات الكيميائيةوالطاقة. الحفاظ على طبقة الأوزون.

الملخص ، تمت الإضافة في 11/18/2009


تطبيق مبدأ الموضوعية المطلقة واليقين للبيانات التجريبية في فيزياء الكم. استخدام البوصلة والمسطرة في الهندسة الإقليدية. التحليلات النظام الدوري العناصر الكيميائيةدي. مندليف. خاصية نقطة التشعب.

الاختبار ، تمت إضافة 06/12/2015


مفهوم ظاهرة الكهرباء الحيوية. ظهور نظرية الغشاء الحديثة في الإثارة. الأنواع الرئيسية للإمكانيات الكهربائية الحيوية ، آلية حدوثها وتطبيقها في المختبرات الطبية الحيوية ، في الممارسة السريرية في التشخيص.

لفهم ماهية الفركتل ، سيكون من الضروري البدء في استخلاص المعلومات من وجهة نظر الرياضيات ، ومع ذلك ، قبل الخوض في العلوم الدقيقة ، سوف نتفلسف قليلاً. كل شخص لديه فضول طبيعي يتعلم بفضله العالم... في كثير من الأحيان ، في سعيه للحصول على المعرفة ، يحاول العمل بالمنطق في الأحكام. لذلك ، بتحليل العمليات التي تحدث ، يحاول حساب العلاقة واستنتاج أنماط معينة. ينشغل أعظم العقول على هذا الكوكب بهذه المهام. بشكل تقريبي ، يبحث علماؤنا عن أنماط لا توجد فيها ، ولا ينبغي أن تكون موجودة. ومع ذلك ، حتى في حالة الفوضى ، هناك علاقة بين أحداث معينة. هذا الاتصال هو كسورية. على سبيل المثال ، فكر في فرع مكسور ملقى على الطريق. إذا نظرنا إليها عن كثب ، فسنرى أنها نفسها ، بكل فروعها وعقدها ، تشبه الشجرة نفسها. هذا التشابه لجزء منفصل مع كل واحد يشهد على ما يسمى بمبدأ التشابه الذاتي العودي. يمكن العثور على الفركتلات في الطبيعة طوال الوقت ، لأن العديد من الأشكال غير العضوية والعضوية تتشكل بطريقة مماثلة. هذه هي الغيوم ، وأصداف البحر ، وقواقع الحلزون ، وتيجان الأشجار ، وحتى الجهاز الدوري. هذه قائمةيمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى. يتم وصف كل هذه الأشكال العشوائية بسهولة بواسطة خوارزمية كسورية. لقد وصلنا الآن إلى التفكير في ماهية الفركتل من وجهة نظر العلوم الدقيقة.

بعض الحقائق الجافة

تتم ترجمة كلمة "كسورية" نفسها من اللاتينية على أنها "جزئية" و "مقسمة" و "مجزأة" ، وبالنسبة لمحتوى هذا المصطلح ، فإن الصياغة على هذا النحو غير موجودة. عادة ما يتم تفسيرها على أنها مجموعة متشابهة ، جزء من الكل ، والتي تتكرر من خلال هيكلها على المستوى الجزئي. صاغ هذا المصطلح في سبعينيات القرن العشرين من قبل بينوا ماندلبروت ، المعروف باسم أب الهندسة الفركتلية. اليوم ، مفهوم الفركتل يعني صورة بيانيةبعض الهياكل ، والتي ستكون مماثلة لنفسها على نطاق متزايد. ومع ذلك ، تم وضع الأساس الرياضي لإنشاء هذه النظرية حتى قبل ولادة ماندلبروت نفسه ، لكنها لم تتطور حتى ظهرت أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية.

الخلفية التاريخية ، أو كيف بدأ كل شيء

في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين ، كانت دراسة طبيعة الفركتلات ذات طبيعة عرضية. هذا يرجع إلى حقيقة أن علماء الرياضيات فضلوا دراسة الأشياء القابلة للبحث ، بناءً على النظريات العامةوالطرق. في عام 1872 ، بنى عالم الرياضيات الألماني K. Weierstrass مثالاً وظيفة مستمرة، لا مكان للاشتقاق. ومع ذلك ، فقد تبين أن هذا البناء مجرّد تمامًا ويصعب إدراكه. ثم ذهب السويدي هيلج فون كوخ ، الذي بنى في عام 1904 منحنى مستمرًا ليس له ظل في أي مكان. من السهل رسمها إلى حد ما ولها خصائص كسورية كما اتضح. سمي أحد المتغيرات لهذا المنحنى على اسم مؤلفه - "Koch snowflake". علاوة على ذلك ، تم تطوير فكرة التشابه الذاتي بين الشخصيات من قبل المرشد المستقبلي لـ B.Mandelbrot ، الفرنسي بول ليفي. في عام 1938 نشر مقالاً بعنوان "المنحنيات والأسطح المستوية والمكانية المكونة من أجزاء ، مثل الكل". في ذلك ، وصف نوعًا جديدًا - منحنى ليفي سي. يشار تقليديًا إلى جميع الأشكال المذكورة أعلاه بالفركتلات الهندسية.

الفركتلات الديناميكية أو الجبرية

يتضمن هذا الفصل مجموعة Mandelbrot. كان أول الباحثين في هذا الاتجاه عالما الرياضيات الفرنسيان بيير فاتو وجاستون جوليا. في عام 1918 ، نشرت جوليا ورقة بحثية تستند إلى دراسة تكرارات الوظائف المعقدة المنطقية. وصف هنا عائلة من الفركتلات التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمجموعة ماندلبروت. على الرغم من حقيقة أن هذا العمل جعل المؤلف مشهورًا بين علماء الرياضيات ، إلا أنه سرعان ما نسي. وبعد نصف قرن فقط ، بفضل أجهزة الكمبيوتر ، تلقى عمل جوليا حياة ثانية. جعلت أجهزة الكمبيوتر من الممكن أن تجعل من الممكن لكل شخص جمال وثراء عالم الفركتلات التي يمكن لعلماء الرياضيات "رؤيتها" من خلال عرضها من خلال الوظائف. كان ماندلبروت أول من استخدم الكمبيوتر لإجراء العمليات الحسابية (مثل هذا الحجم لا يمكن إجراؤه يدويًا) ، مما جعل من الممكن تكوين صورة لهذه الأرقام.

الخيال المكاني

بدأ ماندلبروت مسيرته العلمية في مركز أبحاث IBM. عند دراسة إمكانية نقل البيانات عبر مسافات طويلة ، واجه العلماء حقيقة الخسائر الكبيرة التي نشأت بسبب تداخل الضوضاء. كان Benoit يبحث عن طرق لحل هذه المشكلة. بالنظر إلى نتائج القياس ، لاحظ نمطًا غريبًا ، وهو أن الرسوم البيانية للضوضاء تبدو متشابهة في مقاييس زمنية مختلفة. لوحظت صورة مماثلة لمدة يوم واحد وكذلك لمدة سبعة أيام أو لمدة ساعة. كرر بنوا ماندلبروت نفسه في كثير من الأحيان أنه لا يتعامل مع الصيغ ، لكنه يلعب بالصور. تميز هذا العالم بالتفكير المجازي ، فقد ترجم أي مسألة جبرية إلى المجال الهندسي ، حيث الإجابة الصحيحة واضحة. لذلك ليس من المستغرب أن يكون مثل هذا الرجل الثري التفكير المكاني، وأصبح والد الهندسة الكسورية. بعد كل شيء ، لا يمكن أن يأتي إدراك هذا الشكل إلا عندما تدرس الرسومات وتتأمل في معنى هذه الدوامات الغريبة التي تشكل نمطًا. لا تحتوي الرسومات الكسورية على عناصر متطابقة ، لكنها متشابهة على أي مقياس.

جوليا - ماندلبروت

كانت إحدى الرسومات الأولى لهذا الشكل عبارة عن تفسير رسومي للمجموعة التي وُلدت من أعمال غاستون جوليا وأكملها ماندلبروت. حاول جاستون أن يتخيل كيف تبدو المجموعة ، مبنية على أساس صيغة بسيطة ، والتي يتم تكرارها من خلال حلقة التغذية الراجعة. دعونا نحاول شرح ما قيل بلغة البشر ، إذا جاز التعبير ، على الأصابع. لقيمة عددية محددة ، استخدم الصيغة للعثور على قيمة جديدة. نعوض به في الصيغة ونوجد ما يلي. والنتيجة هي تسلسل رقمي كبير. لتمثيل مثل هذه المجموعة ، يلزم القيام بهذه العملية عدة مرات: مئات ، آلاف ، ملايين. هذا ما فعله بينوا. قام بمعالجة التسلسل ونقل النتائج إلى شكل رسومي. بعد ذلك ، قام بتلوين الشكل الناتج (كل لون يتوافق مع عدد معين من التكرارات). سميت هذه الصورة الرسومية "Mandelbrot fractal".

كاربنتر: فن من صنع الطبيعة

وجدت نظرية كسورية بسرعة الاستخدام العملي... نظرًا لأنه يرتبط ارتباطًا وثيقًا بتصور الصور المتشابهة ، كان الفنانون أول من اعتمد المبادئ والخوارزميات لبناء هذه الأشكال غير العادية. كان أول هؤلاء المؤسس المستقبلي لاستوديو Pixar Lauren Carpenter. أثناء العمل على عرض نموذج أولي للطائرات ، توصل إلى فكرة استخدام صورة الجبال كخلفية. اليوم ، يمكن لكل مستخدم للكمبيوتر تقريبًا التعامل مع مثل هذه المهمة ، وفي السبعينيات من القرن الماضي ، لم تكن أجهزة الكمبيوتر قادرة على تنفيذ مثل هذه العمليات ، لأنه لم يكن هناك برامج تحرير للرسومات وتطبيقات للرسومات ثلاثية الأبعاد في ذلك الوقت. وهكذا صادفت لورين كتاب ماندلبروت الفركتلات: الشكل والعشوائية والبعد. في ذلك ، قدم بينوا العديد من الأمثلة ، موضحًا أن هناك فركتلات في الطبيعة (phwa) ، ووصف أشكالها المختلفة وأثبت سهولة وصفها بالتعبيرات الرياضية. استشهد عالم الرياضيات بهذا التشبيه كحجة لفائدة النظرية التي كان يطورها ردًا على وابل من الانتقادات من زملائه. لقد جادلوا بأن الفركتل هو مجرد صورة جميلة بلا قيمة ، وهو منتج ثانوي للآلات الإلكترونية. قرر كاربنتر تجربة هذه الطريقة في الممارسة العملية. بعد دراسة الكتاب بعناية ، بدأ رسام الرسوم المتحركة المستقبلي في البحث عن طريقة لتنفيذ الهندسة الكسورية في رسومات الكمبيوتر. استغرق الأمر ثلاثة أيام فقط لتقديم صورة واقعية تمامًا للمناظر الطبيعية الجبلية على جهاز الكمبيوتر الخاص به. واليوم يستخدم هذا المبدأ على نطاق واسع. كما اتضح ، فإن إنشاء الفركتلات لا يتطلب الكثير من الوقت والجهد.

حل نجار

تبين أن المبدأ الذي استخدمته لورين بسيط. وهو يتألف من تقسيم الأشكال الهندسية الكبيرة إلى عناصر صغيرة ، وتلك إلى أشكال أصغر متشابهة ، وهكذا. قام نجار ، باستخدام مثلثات كبيرة ، بتقسيمها إلى 4 مثلثات صغيرة ، وهكذا ، حتى حصل على منظر طبيعي للجبال. وهكذا أصبح أول فنان يطبق الخوارزمية الكسورية في رسومات الحاسوب لبناء الصورة المطلوبة. اليوم ، يستخدم هذا المبدأ لمحاكاة مختلف الأشكال الطبيعية الواقعية.

أول تصور ثلاثي الأبعاد يعتمد على خوارزمية كسورية

في غضون بضع سنوات ، طبق لورين أفضل ممارساته في مشروع واسع النطاق - فيديو الرسوم المتحركة Vol Libre ، الذي تم عرضه في Siggraph في عام 1980. صدم هذا الفيديو الكثيرين ، ودُعي منشئه للعمل في Lucasfilm. هنا كان رسام الرسوم المتحركة قادرًا على إدراك نفسه تمامًا ، فقد ابتكر مناظر طبيعية ثلاثية الأبعاد (الكوكب بأكمله) لفيلم "ستار تريك". يستخدم أي برنامج حديث ("فركتلات") أو تطبيق لإنشاء رسومات ثلاثية الأبعاد (Terragen ، Vue ، Bryce) نفس الخوارزمية لنمذجة القوام والأسطح.

توم بيدارد

فيزيائي ليزر سابق وأصبح الآن حرفيًا وفنانًا رقميًا ، ابتكر بيدارد سلسلة من الأشكال الهندسية المثيرة للاهتمام للغاية والتي سماها فابرجيه بالفركتلات. ظاهريًا ، يشبهون البيض المزخرف لصائغ روسي ، ولهم نفس النمط المعقد اللامع. استخدم Beddard طريقة معيارية لإنشاء عروضه الرقمية للنماذج. المنتجات الناتجة مذهلة في جمالها. على الرغم من أن الكثيرين يرفضون مقارنة المنتج المصنوع يدويًا بـ برنامج الحاسبومع ذلك ، يجب الاعتراف بأن الأشكال الناتجة جميلة للغاية. تسليط الضوء على أنه يمكن لأي شخص بناء مثل هذا الفراكتل باستخدام مكتبة برامج WebGL. يسمح لك باستكشاف هياكل كسورية مختلفة في الوقت الحقيقي.

فركتلات في الطبيعة

قليل من الناس ينتبهون ، لكن هذه الأرقام المذهلة موجودة في كل مكان. يتم إنشاء الطبيعة من شخصيات متشابهة ، نحن فقط لا نلاحظها. يكفي أن ننظر من خلال عدسة مكبرة إلى جلدنا أو ورقة شجرة ، وسنرى فركتلات. أو خذ ، على سبيل المثال ، أناناس أو حتى ذيل الطاووس - فهي تتكون من أشكال متشابهة. وصنف البروكلي من نوع Romanescu مدهش بشكل عام في مظهره ، لأنه يمكن حقًا أن يطلق عليه معجزة الطبيعة.

وقفة موسيقية

اتضح أن الفركتلات ليست مجرد أشكال هندسية ، بل يمكن أن تكون أصواتًا أيضًا. على سبيل المثال ، يكتب الموسيقي جوناثان كولتون الموسيقى باستخدام خوارزميات كسورية. يدعي أن هذا اللحن يتوافق مع الانسجام الطبيعي. ينشر الملحن جميع أعماله بموجب رخصة CreativeCommons Attribution-Noncommercial ، والتي تنص على التوزيع المجاني والنسخ ونقل الأعمال من قبل الآخرين.

مؤشر كسورية

وجدت هذه التقنية تطبيقًا غير متوقع للغاية. على أساسها ، تم إنشاء أداة لتحليل سوق الأوراق المالية ، ونتيجة لذلك ، بدأ استخدامها في سوق الفوركس. الآن يوجد مؤشر الفركتال على جميع منصات التداول ويستخدم في تقنية تداول تسمى اختراق السعر. تم تطوير هذه التقنية بواسطة بيل ويليامز. كما علق المؤلف على اختراعه ، فإن هذه الخوارزمية عبارة عن مزيج من عدة "شموع" تعكس فيها الشموع المركزية الحد الأقصى أو ، على العكس من ذلك ، الحد الأدنى للنقطة القصوى.

أخيرا

لذلك قمنا بفحص ما هو الفراكتل. اتضح أنه في الفوضى التي تحيط بنا ، في الواقع ، هناك أشكال مثالية. الطبيعة هي أفضل مهندس معماري وباني ومهندس مثالي. إنه منظم بشكل منطقي للغاية ، وإذا لم نتمكن من العثور على نمط ، فهذا لا يعني أنه غير موجود. ربما تحتاج إلى النظر إلى نطاق مختلف. يمكننا أن نقول بثقة أن الفركتلات لا تزال تحمل العديد من الأسرار التي لم نكتشفها بعد.

لقد تعلمت مؤخرًا عن أشياء مثيرة للاهتمام في العالم الرياضي مثل الفركتلات. لكنهم موجودون ليس فقط في الرياضيات. إنهم يحيطون بنا في كل مكان. الفركتلات طبيعية. سأتحدث عن ماهية الفركتلات ، وعن أنواع الفركتلات ، وأمثلة على هذه الكائنات وتطبيقاتها في هذه المقالة. بادئ ذي بدء ، سأخبرك بإيجاز ما هو الفراكتل.

الفركتل (الكسر اللاتيني - المكسر ، المكسور ، المكسور) هو شكل هندسي معقد له خاصية التشابه الذاتي ، أي يتكون من عدة أجزاء ، كل منها مشابه للشكل ككل. بمعنى أوسع ، تُفهم الفركتلات على أنها مجموعات من النقاط في الفضاء الإقليدي التي لها بعد متري كسري (بمعنى Minkowski أو Hausdorff) ، أو بعد متري غير الطوبولوجي. على سبيل المثال ، سوف أقوم بإدراج صورة لأربع فركتلات مختلفة.

سأخبرك قليلاً عن تاريخ الفركتلات. أصبحت مفاهيم الهندسة الفركتلية والفركتلية ، التي ظهرت في أواخر السبعينيات ، جزءًا من الحياة اليومية لعلماء الرياضيات والمبرمجين منذ منتصف الثمانينيات. صاغ بينوا ماندلبروت كلمة "كسورية" في عام 1975 للإشارة إلى الهياكل غير المنتظمة ولكنها ذاتية التشابه التي عمل عليها. عادة ما ترتبط ولادة الهندسة الفركتلية بنشر كتاب ماندلبروت عام 1977 بعنوان الهندسة الكسورية للطبيعة. استخدمت أعماله النتائج العلمية لعلماء آخرين عملوا في الفترة 1875-1925 في نفس المجال (بوانكاريه ، فاتو ، جوليا ، كانتور ، هاوسدورف). ولكن فقط في عصرنا كان من الممكن دمج عملهم في نظام واحد.

هناك الكثير من الأمثلة على الفركتلات ، لأنها ، كما قلت ، تحيط بنا في كل مكان. في رأيي ، حتى كوننا بأكمله هو كسور ضخم. بعد كل شيء ، كل شيء فيه ، من بنية الذرة إلى بنية الكون نفسه ، يكرر بعضها البعض تمامًا. لكن هناك بالطبع المزيد أمثلة محددةفركتلات من مناطق مختلفة. الفركتلات ، على سبيل المثال ، موجودة في ديناميكيات معقدة. إنهم هناك تظهر بشكل طبيعي في دراسة اللاخطية أنظمة ديناميكية... الحالة الأكثر دراسة هي عندما يتم تحديد نظام ديناميكي من خلال تكرارات متعددة الحدود أو هولومورفيك دالة لمجموعة متغيراتعلى السطح. بعض أشهر الفركتلات من هذا النوع هي مجموعة جوليا ومجموعة ماندلبروت وأحواض نيوتن. أدناه ، بالترتيب ، تُظهر الصور كل من الفركتلات المذكورة أعلاه.

مثال آخر على الفركتلات هو المنحنيات الكسورية. من الأفضل شرح كيفية بناء كسورية باستخدام مثال المنحنيات الكسورية. أحد هذه المنحنيات هو ما يسمى Koch Snowflake. هناك بسيطإجراء للحصول على منحنيات كسورية على مستوى. دعنا نحدد متعدد الخطوط التعسفي مع عدد محدود من الروابط ، يسمى المولد. بعد ذلك ، نستبدل كل جزء فيه بمولد (بتعبير أدق ، خط مكسور مشابه للمولد). في الخط المكسور الناتج ، استبدل كل جزء بمولد مرة أخرى. بالاستمرار إلى اللانهاية ، نحصل على منحنى كسري في النهاية. يتم عرض Koch Snowflake (أو المنحنى) أدناه.

هناك أيضًا مجموعة كبيرة ومتنوعة من المنحنيات الكسورية. أشهرها هي Koch Snowflake التي سبق ذكرها ، بالإضافة إلى منحنى Levi ومنحنى Minkowski ومنحنى Dragon المكسور ومنحنى Piano وشجرة Pythagorean. أعتقد أن صورة هذه الفركتلات وتاريخها ، إذا رغبت في ذلك ، يمكنك بسهولة العثور على ويكيبيديا.

المثال الثالث أو نوع الفركتلات هو الفركتلات العشوائية. تتضمن هذه الفركتلات مسار الحركة البراونية على المستوى وفي الفضاء ، تطور شرام-لونر ، أنواع مختلفة من الفركتلات العشوائية ، أي الفركتلات التي تم الحصول عليها باستخدام إجراء تكراري ، حيث يتم إدخال معلمة عشوائية في كل خطوة.

هناك أيضًا فركتلات رياضية بحتة. هذه ، على سبيل المثال ، مجموعة Cantor ، وإسفنجة Menger ، ومثلث Sierpinski ، وغيرها.

ولكن ربما تكون الفركتلات الأكثر إثارة للاهتمام هي الفركتلات الطبيعية. الفركتلات الطبيعية هي أشياء في الطبيعة لها خصائص كسورية. وهنا القائمة طويلة بالفعل. لن أسرد كل شيء ، لأنه ، على الأرجح ، لا يمكنني سردها جميعًا ، لكنني سأخبرك عن بعضها. على سبيل المثال ، في الطبيعة ، تشمل هذه الفركتلات الدورة الدموية والرئتين. وكذلك تيجان وأوراق الأشجار. يمكن أيضًا أن يُنسب نجم البحر هنا ، قنافذ البحروالشعاب المرجانية وأصداف البحر وبعض النباتات مثل الكرنب أو البروكلي. يتم عرض العديد من هذه الفركتلات الطبيعية من الحياة البرية بوضوح أدناه.

إذا نظرنا الطبيعة الجامدةثم هناك أمثلة مثيرة للاهتمامأكثر بكثير من العيش. البرق ، والثلج ، والسحب ، والمعروف للجميع ، والأنماط على النوافذ في الأيام الباردة ، والبلورات ، وسلاسل الجبال - كل هذه أمثلة على الفركتلات الطبيعية من الطبيعة غير الحية.

لقد درسنا أمثلة وأنواع الفركتلات. أما بالنسبة لاستخدام الفركتلات ، فهي تستخدم في مجالات المعرفة المختلفة. في الفيزياء ، تنشأ الفركتلات بشكل طبيعي عند نمذجة العمليات غير الخطية ، مثل تدفق السوائل المضطرب ، وعمليات الانتشار والامتصاص المعقدة ، واللهب ، والسحب ، وما إلى ذلك. تستخدم الفركتلات في نمذجة المواد المسامية ، على سبيل المثال ، في البتروكيماويات. في علم الأحياء ، يتم استخدامها لنمذجة السكان ولوصف أنظمة الأعضاء الداخلية (نظام الأوعية الدموية). بعد إنشاء منحنى كوخ ، اقترح استخدامه عند حساب طول الخط الساحلي. تُستخدم الفركتلات أيضًا بنشاط في هندسة الراديو والمعلوماتية وتكنولوجيا الكمبيوتر والاتصالات السلكية واللاسلكية وحتى الاقتصاد. وبالطبع ، يتم استخدام الرؤية الكسورية بنشاط في فن معاصروالهندسة المعمارية. فيما يلي مثال على اللوحات الفركتالية:

وهكذا ، في هذا الصدد ، أعتقد أن أكمل قصتي حول ظاهرة رياضية غير عادية مثل الفركتال. تعرفنا اليوم على ماهية الفركتلات وكيف ظهرت وأنواع وأمثلة الفركتلات. تحدثت أيضًا عن تطبيقها وأظهرت بعضًا من الفركتلات بصريًا. أتمنى أن تكون قد استمتعت بهذه الرحلة القصيرة إلى عالم الأجسام الكسورية المذهلة والرائعة.