Egyenes tulajdonságai az euklideszi geometriában.

Bármely ponton keresztül végtelen sok egyenest húzhat.

Bármely két nem egybeeső ponton keresztül egyetlen egyenes húzható.

Egy síkon két nem illeszkedő egyenes vagy egyetlen pontban metszi egymást, vagy metszi egymást

párhuzamos (az előzőből következik).

V háromdimenziós tér három lehetőség van két egyenes relatív helyzetére:

• az egyenesek metszik egymást;

• az egyenesek párhuzamosak;

• egyenesek metszik egymást.

Egyenes vonal- elsőrendű algebrai görbe: derékszögű koordinátarendszerben egyenes

a síkon egy elsőfokú egyenlet (lineáris egyenlet) adja meg.

Az egyenes általános egyenlete.

Meghatározás... Bármely síkon lévő egyenes megadható elsőrendű egyenlettel

Ax + Wu + C = 0,

állandóval A, B egyszerre nem egyenlők nullával. Ezt az elsőrendű egyenletet ún gyakori

egyenes egyenlete. Az állandók értékétől függően A, Bés VAL VEL a következő speciális esetek lehetségesek:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- az egyenes átmegy az origón

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (by + C = 0)- a tengellyel párhuzamos egyenes Ó

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- a tengellyel párhuzamos egyenes OU

. B = C = 0, A ≠ 0- az egyenes egybeesik a tengellyel OU

. A = C = 0, B ≠ 0- az egyenes egybeesik a tengellyel Ó

Az egyenes egyenlete bármely adotttól függően többféle formában is bemutatható

kezdeti feltételek.

Egy pont és egy normálvektor mentén húzódó egyenes egyenlete.

Meghatározás... A derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy vektor (A, B) komponensekkel

merőleges az egyenlet által megadott egyenesre

Ax + Wu + C = 0.

Példa... Határozzuk meg egy ponton átmenő egyenes egyenletét! A (1, 2) merőleges a vektorra (3, -1).

Megoldás... A = 3 és B = -1 esetén megalkotjuk az egyenes egyenletét: 3x - y + C = 0. A C együttható megkereséséhez

behelyettesítjük az adott A pont koordinátáit a kapott kifejezésbe, így kapjuk: 3 - 2 + C = 0, ezért

C = -1. Összesen: a szükséges egyenlet: 3x - y - 1 = 0.

Két ponton átmenő egyenes egyenlete.

Legyen két pont adott a térben M 1 (x 1, y 1, z 1)és M2 (x 2, y 2, z 2), azután egyenes egyenlete,

ezeken a pontokon áthaladva:

Ha bármelyik nevező nulla, akkor a megfelelő számlálót nullával kell egyenlővé tenni. A

síkon, a fent leírt egyenes egyenlete leegyszerűsödik:

ha x 1 ≠ x 2és x = x 1, ha x 1 = x 2 .

Töredék = k hívott lejtő egyenes.

Példa... Határozzuk meg az A (1, 2) és B (3, 4) pontokon átmenő egyenes egyenletét!

Megoldás... A fenti képletet alkalmazva a következőket kapjuk:

Egy egyenes egyenlete pontonként és lejtőnként.

Ha általános egyenlet egyenes Ax + Wu + C = 0 az űrlaphoz vezet:

és kijelölni , akkor a kapott egyenletet nevezzük

k meredekségű egyenes egyenlete.

Egy pont és egy irányvektor mentén húzódó egyenes egyenlete.

A normálvektoron áthaladó egyenes egyenletét figyelembe vevő bekezdéssel analóg módon megadhatja a feladatot

egy ponton áthaladó egyenes és egy egyenes irányvektora.

Meghatározás... Minden nullától eltérő vektor (α 1, α 2) amelynek összetevői kielégítik a feltételt

Аα 1 + Вα 2 = 0 hívott egyenes irányító vektora.

Ax + Wu + C = 0.

Példa... Határozzuk meg az (1, -1) irányvektorral és az A ponton áthaladó egyenes egyenletét (1, 2).

Megoldás... A szükséges egyenes egyenletét a következő formában kell keresni: Ax + By + C = 0. A meghatározás szerint,

az együtthatóknak meg kell felelniük a következő feltételeknek:

1 * A + (-1) * B = 0, azaz. A = B.

Ekkor az egyenes egyenlete a következőképpen alakul: Ax + Ay + C = 0, vagy x + y + C / A = 0.

nál nél x = 1, y = 2 kapunk C / A = -3, azaz szükséges egyenlet:

x + y - 3 = 0

Egyenes egyenlete szakaszokban.

Ha az Ax + Vy + C egyenes általános egyenletében 0 C ≠ 0, akkor -C-vel osztva kapjuk:

vagy hol

Az együtthatók geometriai jelentése, hogy az a együttható a metszéspont koordinátája

egyenes tengellyel Ó, a b- az egyenes és a tengely metszéspontjának koordinátája OU.

Példa... Adott az egyenes általános egyenlete x - y + 1 = 0. Keresse meg ennek az egyenesnek az egyenletét szakaszokban!

C = 1, a = -1, b = 1.

Normál egyenlet egyenes.

Ha az egyenlet mindkét oldala Ax + Wu + C = 0 számmal osztjuk amelyet úgy hívnak

normalizáló tényező, akkor megkapjuk

xcosφ + ysinφ - p = 0 -az egyenes normálegyenlete.

A normalizáló tényező ± előjelét úgy kell megválasztani, hogy μ * C< 0.

R- az origóból az egyenesbe esett merőleges hossza,

a φ - a merőleges által a tengely pozitív irányával bezárt szög Ó.

Példa... Adjuk meg az egyenes általános egyenletét 12x - 5y - 65 = 0... Különböző típusú egyenletek írásához szükséges

ezt az egyenest.

Ennek az egyenesnek az egyenlete szegmensekben:

Ennek az egyenesnek a meredekséggel való egyenlete: (oszd 5-tel)

Egy egyenes egyenlete:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Meg kell jegyezni, hogy nem minden egyenes ábrázolható egyenlettel szegmensekben, például egyenesek,

a tengelyekkel párhuzamosan vagy az origón áthaladva.

Az egyenesek közötti szög a síkon.

Meghatározás... Ha két sor adott y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, majd hegyesszög e vonalak között

ként lesz meghatározva

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2... Két egyenes merőleges,

ha k 1 = -1 / k 2 .

Tétel.

Közvetlen Ax + Wu + C = 0és A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 párhuzamosak, ha az együtthatók arányosak

А 1 = λА, В 1 = λВ... Ha azt is С 1 = λС, akkor az egyenesek egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátái

ezeknek az egyeneseknek az egyenletrendszerének megoldásaként találhatók.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete, merőleges egy adott egyenesre.

Meghatározás... Vonal átmenő pont M 1 (x 1, y 1)és az egyenesre merőlegesen y = kx + b

egyenlettel van ábrázolva:

Távolság ponttól vonalig.

Tétel... Ha pontot adnak M (x 0, y 0), az egyenes távolsága Ax + Wu + C = 0 ként meghatározott:

Bizonyíték... Legyen a lényeg M 1 (x 1, y 1)- a merőleges alapja leesett a pontból M adottnak

egyenes. Ezután a pontok közötti távolság Més M 1:

(1)

Koordináták x 1és 1-kor az egyenletrendszer megoldásaként található:

A rendszer második egyenlete egy adott M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete, amely merőleges

egy adott egyenes. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az (1) egyenletbe, azt kapjuk, hogy:

A tétel bizonyítva van.

Azt keresi, hogyan írjon fel egyenletet? ... A részletes megoldás leírással és magyarázatokkal segít a legtöbbet kitalálni kihívást jelentő feladatés készíts egy egyenletet, ez alól nem kivétel. Segítünk felkészülni a házi feladatokra, tesztekre, olimpiára, valamint az egyetemre való felvételre. És bármilyen példát, bármilyen matematikai lekérdezést ad meg, máris van megoldásunk. Például: „hogyan készítsünk egyenletet”.

Életünkben elterjedt a különféle matematikai feladatok, számológépek, egyenletek és függvények használata. Számos számításnál, épületépítésnél, sőt sportolásnál is használják őket. Az ember már az ókorban is használta a matematikát és azóta használatuk csak nőtt. A tudomány azonban most nem áll meg, és tevékenységének gyümölcsét élvezhetjük, mint például egy online számológép, amely olyan problémákat tud megoldani, mint például, hogyan kell egyenletet készíteni, egyenletet készíteni. Ezen az oldalon talál egy számológépet, amely segít bármilyen kérdés megoldásában, beleértve az egyenlet felírását is. (például hogyan írjunk fel egyenletet).

Hol lehet megoldani bármilyen matematikai feladatot, valamint hogyan lehet online egyenletet létrehozni?

Weboldalunkon megoldhatja az egyenlet elkészítésének problémáját. Egy ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online problémát. Csak annyit kell tennie, hogy beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon videós útmutatót is megtekinthet, és megtudhatja, hogyan kell helyesen megadni a feladatot. Ha pedig még vannak kérdései, felteheti azokat a számológép oldalának bal alsó sarkában található chatben.

Nézzük meg, hogyan lehet felállítani egy két ponton átmenő egyenes egyenletét példákon keresztül.

1. példa

Készítsd el az A (-3; 9) és B (2; -1) pontokon áthaladó egyenes egyenletét!

1. módszer - állítsa össze a meredekségű egyenes egyenletét.

A meredekségű egyenes egyenletének alakja van. Az A és B pont koordinátáit behelyettesítve az egyenes egyenletébe (x = -3 és y = 9 - az első esetben x = 2 és y = -1 - a másodikban) egyenletrendszert kapunk. amelyből megtaláljuk k és b értékét:

Az 1. és 2. egyenletet tagonként összeadva a következőt kapjuk: -10 = 5k, innen k = -2. Ha k = -2-t behelyettesítünk a második egyenletbe, b-t kapunk: -1 = 2 · (-2) + b, b = 3.

Így y = -2x + 3 a kívánt egyenlet.

2. módszer - állítsa össze az egyenes általános egyenletét.

Az egyenes általános egyenlete alakja. Az A és B pont koordinátáit behelyettesítve az egyenletbe, a rendszert kapjuk:

Mivel az ismeretlenek száma nagyobb, mint az egyenletek száma, a rendszer nem megoldható. De az összes változót kifejezheti egyen keresztül. Például b.

A rendszer első egyenletét megszorozzuk -1-gyel, és tagonként hozzáadjuk a másodikhoz:

kapjuk: 5a-10b = 0. Ezért a = 2b.

Helyettesítsük be a kapott kifejezést a második egyenletbe: 2 · 2b -b + c = 0; 3b + c = 0; c = -3b.
Helyettesítse a = 2b, c = -3b egyenletet az ax + egyenletbe + c = 0-val:

2bx + by-3b = 0. Marad a két rész felosztása b-vel:

Az egyenes általános egyenlete könnyen redukálható egy meredekségű egyenes egyenletére:

3. módszer - állítsd össze egy 2 ponton áthaladó egyenes egyenletét.

A két ponton átmenő egyenes egyenlete:

Helyettesítsd be az egyenletbe az A (-3; 9) és B (2; -1) pont koordinátáit.

(vagyis x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):

és leegyszerűsítve:

ahonnan 2x + y-3 = 0.

V iskolai tanfolyam leggyakrabban a meredekségű egyenes egyenletét használják. De a legegyszerűbb az, ha levezetjük és használjuk a két ponton átmenő egyenes egyenletének képletét.

Megjegyzés.

Ha, a koordináták helyettesítésekor beállított pontok az egyenlet egyik nevezője

nullával egyenlő, akkor a kívánt egyenletet a megfelelő számláló nullával való egyenlővé tételével kapjuk meg.

2. példa

Készítsen egyenletet két C (5; -2) és D (7; -2) ponton átmenő egyenesről!

Helyettesítsünk be az egyenletbe egy 2 ponton átmenő egyenest, a C és D pont koordinátáit.

Egyenlet egy síkon.
Az irányvektor egy egyenes. Normál vektor

Az egyenes vonal a síkon az egyik legegyszerűbb geometriai formák azóta ismerős számodra elemi osztályok, és ma megtanuljuk, hogyan kezeljük ezt az analitikus geometria módszereivel. Az anyag elsajátításához tudnia kell egyenes vonalat építeni; tudja, milyen egyenletet használnak az egyenes meghatározására, különösen az origón áthaladó egyenesek és a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesek meghatározására. Ez az információ a kézikönyvben található Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai, matanhoz készítettem, de a szakasz tovább lineáris függvény nagyon sikeresnek és részletesnek bizonyult. Ezért, kedves teáskannák, először ott melegedjetek fel. Ezenkívül alapvető ismeretekkel kell rendelkeznie vektorok, ellenkező esetben az anyag megértése hiányos lesz.

Ebben a leckében megvizsgáljuk, hogyan írhatja fel az egyenes egyenletét egy síkra. Azt javaslom, hogy ne hanyagoljuk el a gyakorlati példákat (még ha nagyon egyszerűnek is tűnik), hiszen azokat elemi és fontos tényekkel, technikákkal fogom közölni, amelyekre a jövőben szükség lesz, így a felsőbb matematika más részein is.

• Hogyan írjuk fel a meredekségű egyenes egyenletét?
• Hogyan ?
• Hogyan találjuk meg az irányvektort az egyenes általános egyenletével?
• Hogyan írjunk fel egy egyenes egyenletét egy pontból és egy normálvektorból?

és kezdjük:

Egyenlet meredekséggel

Az egyenes egyenletének jól ismert "iskolai" alakját ún meredekségű egyenes egyenlete... Például, ha egy egyenest egy egyenlet ad meg, akkor a meredeksége:. Fontolgat geometriai jelentése ennek az együtthatónak, és annak értéke hogyan befolyásolja az egyenes helyét:

A geometria tanfolyam ezt bizonyítja az egyenes lejtése az egy szög érintője a tengely pozitív iránya közöttés ez a vonal:, és a szöget az óramutató járásával ellentétes irányban "lecsavarjuk".

Annak érdekében, hogy ne zsúfolja el a rajzot, csak két vonalra húztam sarkokat. Tekintsük a "piros" vonalat és annak lejtését. Mint fent: (az "alfa" szöget zöld ív jelzi). A „kék” vonalra a meredekséggel az egyenlőség igaz (a „béta” szöget a barna ív jelzi). És ha a szög érintője ismert, akkor szükség esetén könnyű megtalálni és maga a sarok az inverz függvény segítségével - arctangens. Ahogy mondani szokás, egy trigonometrikus táblázat vagy mikroszámológép a kezében. Ily módon a lejtő az egyenes vonal abszcissza tengelyhez viszonyított dőlésének mértékét jellemzi.

Ebben az esetben a következő esetek lehetségesek:

1) Ha a meredekség negatív:, akkor a vonal durván szólva felülről lefelé halad. Ilyenek például a „kék” és „bíbor” egyenes vonalak a rajzon.

2) Ha a meredekség pozitív: akkor a vonal alulról felfelé halad. Példák a "fekete" és "piros" vonalak a rajzon.

3) Ha a meredekség nulla:, akkor az egyenlet alakját veszi fel, és a megfelelő egyenes párhuzamos a tengellyel. Példa erre a "sárga" egyenes vonal.

4) A tengellyel párhuzamos egyenesek családja esetén (a rajzon nincs példa, kivéve magát a tengelyt) a meredekség nem létezik (90 fokos érintő nincs meghatározva).

Minél nagyobb a modulus meredeksége, annál meredekebb az egyenes grafikonja.

Vegyünk például két sort. Itt tehát a vonal meredekebb lejtésű. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a modul lehetővé teszi a jel figyelmen kívül hagyását, minket csak az érdekel abszolút értékeket lejtési együtthatók.

Viszont az egyenes meredekebb, mint az egyenesek. .

Megfordítva: minél kisebb a lejtés a modulusban, annál laposabb az egyenes.

Közvetlenre az egyenlőtlenség igaz, így az egyenes laposabb. Gyermekcsúszda, hogy ne ültessen zúzódásokat és dudorokat magára.

Miért van erre szükség?

Hosszabbítsa meg gyötrelmét A fenti tények ismerete lehetővé teszi, hogy azonnal észrevegye a hibáit, különösen a grafikus ábrázolás hibáit - ha a rajzról kiderült, hogy "valami nyilvánvalóan nincs rendben". Célszerű, hogy Ön azonnal világos volt, hogy például egy egyenes nagyon meredek és alulról felfelé halad, az egyenes pedig nagyon sekély, közel van a tengelyhez és fentről lefelé halad.

V geometriai problémák gyakran több egyenes is megjelenik, ezért célszerű ezeket valahogy jelölni.

Megnevezések: az egyenes vonalakat kicsik jelzik latin betűkkel:. Egy népszerű lehetőség az azonos betűvel való megjelölés természetes alsó indexekkel. Például az imént megvizsgált öt egyenest jelölhetjük .

Mivel bármely egyenest egyértelműen két pont határoz meg, ezekkel a pontokkal jelölhetjük: stb. A jelölés egyértelműen arra utal, hogy a pontok egy egyeneshez tartoznak.

Ideje kicsit felmelegedni:

Hogyan írjuk fel a meredekségű egyenes egyenletét?

Ha ismert egy bizonyos egyeneshez tartozó pont és ennek az egyenesnek a meredeksége, akkor ennek az egyenesnek az egyenlete a következő képlettel fejezhető ki:

1. példa

Ha tudjuk, hogy a pont ehhez az egyeneshez tartozik, tegyük egyenlővé az egyenest a meredekséggel.

Megoldás: Az egyenes egyenletét a képlet állítja össze ... Ebben az esetben:

Válasz:

Vizsgálat elemi elvégzik. Először nézzük meg a kapott egyenletet, és győződjön meg arról, hogy a meredekségünk a helyén van. Másodszor, a pont koordinátáinak teljesíteniük kell ezt az egyenletet. Helyettesítsük be őket az egyenletbe:

Megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy a pont kielégíti a kapott egyenletet.

Következtetés: Az egyenlet helyes.

Egy trükkösebb példa a barkácsoló megoldásra:

2. példa

Készítse el az egyenes egyenletét, ha ismert, hogy dőlésszöge a tengely pozitív irányához képest, és a pont ehhez az egyeneshez tartozik.

Ha nehézségei vannak, olvassa el újra elméleti anyag... Pontosabban, gyakorlatiasabban, sok bizonyítást hiányolok.

Csengett utolsó hívás, az érettségi buli elhalt, szülőiskolánk kapuja mögött tulajdonképpen az analitikus geometria vár ránk. A poénoknak vége… Vagy talán még csak most kezdik =)

Nosztalgikusan integetünk tollal az ismerősnek, és megismerkedünk az egyenes általános egyenletével. Mivel ez az, amit az analitikai geometriában használnak:

Az egyenes általános egyenlete alakja:, hol van néhány szám. Ráadásul az együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával, mivel az egyenlet értelmét veszti.

Öltözzük öltönybe és nyakkendőbe a lejtőegyenletet. Először helyezzük át az összes kifejezést a bal oldalra:

Az "x" kifejezést az első helyre kell tenni:

Az egyenletnek elvileg már megvan a formája, de a matematikai etikett szabályai szerint az első tag együtthatójának (jelen esetben) pozitívnak kell lennie. A jelek megváltoztatása:

Emlékezzen erre a műszaki jellemzőre! Az első együtthatót (leggyakrabban) pozitívvá tesszük!

Az analitikus geometriában az egyenes egyenlete szinte mindig általános formában lesz megadva. Nos, ha szükséges, könnyen az "iskola" nézetbe hozhatja a lejtővel (kivéve az ordináta tengellyel párhuzamos egyeneseket).

Tegyük fel magunknak a kérdést, hogy mit elég Tudsz egyenest építeni? Két pont. De erről a gyerekkori esetről később, most már a nyilak szabályánál maradunk. Minden egyenesnek van egy jól meghatározott lejtése, amelyhez könnyű "alkalmazkodni" vektor.

Egy egyenessel párhuzamos vektort ennek az egyenesnek az irányvektorának nevezzük.... Nyilvánvaló, hogy bármely egyenesnek végtelen sok irányvektora van, és mindegyik kollineáris lesz (egyirányú vagy nem - nem számít).

Az irányvektort a következőképpen jelölöm:.

De egy vektor nem elég egy egyenes felépítéséhez, a vektor szabad és nem kötődik a sík egyetlen pontjához sem. Ezért ezenkívül ismerni kell néhány pontot, amely az egyeneshez tartozik.

Hogyan lehet egyenlőségjelet tenni egy pontból induló egyenes és az irányvektor?

Ha ismert egy egyeneshez tartozó pont és ennek az egyenesnek az irányvektora, akkor ennek az egyenesnek az egyenlete a következő képlettel állítható össze:

Néha úgy hívják az egyenes kanonikus egyenlete .

Mit kell tenni mikor az egyik koordináta nulla, az alábbiakban gyakorlati példákat fogunk látni. Mellesleg vedd észre - mindkettőt egyszerre A koordináták nem lehetnek egyenlők nullával, mivel a nulla vektor nem határoz meg egy adott irányt.

3. példa

Egyenlítse ki egy pontból induló egyenest és egy irányvektort

Megoldás: Az egyenes egyenletét a képlet állítja össze. Ebben az esetben:

Az aránytulajdonságok segítségével megszabadulunk a törtektől:

És hozzuk az egyenletet Általános nézet:

Válasz:

Az ilyen példákban a rajzot általában nem kell elvégezni, de a megértés kedvéért:

A rajzon látjuk a kezdőpontot, az eredeti irányvektort (a sík bármely pontjáról félretehetjük) és a megszerkesztett egyenest. Mellesleg sok esetben a legkényelmesebb egyenest meredekségű egyenlet segítségével megszerkeszteni. Könnyen átalakíthatjuk az egyenletünket a formára, és egyszerűen kiválaszthatunk még egy pontot az egyenes felépítéséhez.

Ahogy a szakasz elején megjegyeztük, egy egyenesnek végtelen sok irányvektora van, és ezek mind kollineárisak. Például három ilyen vektort rajzoltam: ... Bármelyik irányvektort is választjuk, az eredmény mindig ugyanaz az egyenes egyenlet lesz.

Állítsuk össze egy pont és egy irányvektor egyenletét:

Az arányt rendezzük:

Mindkét oldalt elosztjuk –2-vel, és megkapjuk az ismerős egyenletet:

Az érdeklődők hasonlóan tesztelhetik a vektorokat vagy bármely más kollineáris vektor.

Most oldjuk meg az inverz problémát:

Hogyan találjuk meg az irányvektort az egyenes általános egyenletével?

Nagyon egyszerű:

Ha egy egyenest egy általános egyenlet ad meg egy téglalap alakú koordinátarendszerben, akkor a vektor ennek az egyenesnek az irányvektora.

Példák egyenesek irányvektorainak keresésére:

Az állítás lehetővé teszi, hogy egy végtelen halmazból csak egy irányvektort találjunk, de többre nincs szükségünk. Bár bizonyos esetekben célszerű csökkenteni az irányvektorok koordinátáit:

Tehát az egyenlet definiál egy egyenest, amely párhuzamos a tengellyel, és a kapott irányvektor koordinátáit kényelmesen elosztjuk –2-vel, így pontosan az alapvektort kapjuk irányvektorként. Ez logikus.

Hasonlóképpen, az egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest ad meg, és a vektor koordinátáit 5-tel osztva megkapjuk az ort irányvektorként.

Most pedig hajtsuk végre ellenőrizze a 3. példát... A példa feljebb ment, ezért emlékeztetlek arra, hogy ebben elkészítettük egy pont és egy irányvektor egyenletét.

Először, az egyenes egyenletével visszaállítjuk az irányvektorát: - minden rendben, megkaptuk az eredeti vektort (néhány esetben kiderülhet, hogy kollineáris az eredeti vektorral, és ez általában könnyen észrevehető a megfelelő koordináták arányosságából).

Másodszor, a pont koordinátáinak meg kell felelniük az egyenletnek. Helyettesítjük őket az egyenletbe:

Megtörtént a helyes egyenlőség, aminek nagyon örülünk.

Következtetés: A feladatot megfelelően teljesítették.

4. példa

Egyenlítse ki egy pontból induló egyenest és egy irányvektort

Ez egy példa a „csináld magad” megoldásra. Megoldás és válasz a lecke végén. Nagyon tanácsos az imént tárgyalt algoritmus szerint ellenőrizni. Mindig próbálja meg (ha lehetséges) ellenőrizni a piszkozatot. Ostobaság ott hibázni, ahol azok 100%-ban elkerülhetők.

Abban az esetben, ha az irányvektor egyik koordinátája nulla, nagyon egyszerűen járnak el:

5. példa

Megoldás: A képlet nem működik, mert a jobb oldal nevezője nulla. Van kijárat! Az arányosság tulajdonságait felhasználva átírjuk a képletet a formába, a többit pedig egy mély nyomvonalon görgetjük:

Válasz:

Vizsgálat:

1) Rekonstruálja az egyenes irányvektorát:
- a kapott vektor kollineáris az eredeti irányvektorral.

2) Helyettesítse be a pont koordinátáit az egyenletbe:

Megkapjuk a helyes egyenlőséget

Következtetés: a feladat megfelelően teljesítve

Felmerül a kérdés, minek foglalkozni a képlettel, ha van egy univerzális verzió, ami úgyis működik? Ennek két oka van. Először is a törtképlet sokkal jobban emlékszik rá... Másodszor pedig a hátránya univerzális képlet az, hogy a az összetévesztés veszélye jelentősen megnő koordináták helyettesítésekor.

6. példa

Egyenlítse ki egy pont mentén lévő egyenest és egy irányvektort.

Ez egy példa a „csináld magad” megoldásra.

Térjünk vissza a mindenütt jelenlévő két ponthoz:

Hogyan készítsünk egyenes egyenletet két pontból?

Ha két pont ismert, akkor az ezeken a pontokon áthaladó egyenes egyenlete a következő képlettel állítható össze:

Valójában ez egyfajta képlet, és itt van miért: ha két pont ismert, akkor a vektor lesz ennek az egyenesnek az irányvektora. A leckében Vektorok a bábokhoz mérlegeltük a legegyszerűbb feladat- hogyan találjuk meg egy vektor koordinátáit két pont alapján. Ennek a feladatnak megfelelően az irányvektor koordinátái:

jegyzet : pontok "cserélhetők" és a képlet használható ... Egy ilyen megoldás egyenértékű lenne.

7. példa

Egyenlíts ki egy egyenest két pontból .

Megoldás: A következő képletet használjuk:

Átfésüljük a nevezőket:

És keverje meg a paklit:

Most már kényelmesen meg lehet szabadulni a törtszámoktól. Ebben az esetben mindkét részt meg kell szorozni 6-tal:

Kinyitjuk a zárójeleket, és eszünkbe juttatjuk az egyenletet:

Válasz:

Vizsgálat nyilvánvaló - az eredeti pontok koordinátáinak meg kell felelniük a kapott egyenletnek:

1) Cserélje be a pont koordinátáit:

Valódi egyenlőség.

2) Cserélje be a pont koordinátáit:

Valódi egyenlőség.

Következtetés: az egyenes egyenlete helyes.

Ha legalább egy pontból nem felel meg az egyenletnek, keresse a hibát.

Érdemes megjegyezni, hogy a grafikus ellenőrzés ebben az esetben nehéz, mivel építhet egy egyenest, és megnézheti, hogy a pontok hozzá tartoznak-e. , Nem olyan könnyű.

A megoldás néhány technikai vonatkozását is megjegyzem. Talán ebben a feladatban előnyösebb a tükörképlet alkalmazása és ugyanazokon a pontokon készíts egy egyenletet:

Ezek kisebb töredékek. Ha akarja, követheti a megoldást a végéig, és az eredménynek ugyanaznak az egyenletnek kell lennie.

A második pont az, hogy nézzük meg a végső választ, és derítsük ki, lehet-e tovább egyszerűsíteni? Például, ha egy egyenletet kapunk, akkor azt célszerű kettővel csökkenteni: - az egyenlet ugyanazt az egyenest fogja felállítani. Ez azonban már beszédtéma egyenesek egymáshoz viszonyított helyzete.

Miután megkapta a választ a 7. példában minden esetre ellenőriztem, hogy az egyenlet ÖSSZES együtthatója osztható-e 2-vel, 3-mal vagy 7-tel. Bár a legtöbbször ilyen redukciókat még a megoldás során is végrehajtanak.

8. példa

Egyenlítse ki a pontokon áthaladó egyenest .

Ez egy példa egy független megoldásra, amely lehetővé teszi a számítástechnika jobb megértését és kidolgozását.

Az előző bekezdéshez hasonlóan: ha a képletben az egyik nevező (az irányvektor koordinátája) eltűnik, majd átírjuk így. Figyeld meg ismét, milyen kínosnak és zavarosnak tűnik. Nem sok értelmét látom hozni gyakorlati példák, hiszen tulajdonképpen egy ilyen problémát is megoldottunk (lásd 5., 6. sz.).

Vonal normál vektor (normál vektor)

Mi a normális? Egyszerű szavakkal, a normál a merőleges. Vagyis egy egyenes normálvektora merőleges erre az egyenesre. Nyilvánvaló, hogy bármely egyenesben végtelen sok van belőlük (valamint irányvektorok), és az egyenes minden normálvektora kollineáris lesz (egyirányú vagy nem - nincs különbség).

A szétszerelés még egyszerűbb lesz, mint az irányvektorokkal:

Ha egy egyenest egy általános egyenlet ad meg egy téglalap alakú koordinátarendszerben, akkor a vektor ennek az egyenesnek a normálvektora.

Ha az irányvektor koordinátáit óvatosan "ki kell húzni" az egyenletből, akkor a normálvektor koordinátáit egyszerűen "eltávolítjuk".

A normálvektor mindig ortogonális az egyenes irányvektorára. Ellenőrizzük ezen vektorok ortogonalitását a segítségével pont termék:

Példákat adok ugyanazokkal az egyenletekkel, mint az irányvektorra:

Meg lehet-e alkotni egy egyenes egyenletét egy pont és egy normálvektor ismeretében? Érzed a zsigereidben. Ha ismerjük a normálvektort, akkor az egyenes iránya egyértelműen meghatározott - ez egy "merev szerkezet", 90 fokos szöggel.

Hogyan írjunk fel egy egyenes egyenletét egy pontból és egy normálvektorból?

Ha ismert egy egyeneshez tartozó pont és ennek az egyenesnek a normálvektora, akkor ennek az egyenesnek az egyenlete a következő képlettel fejezhető ki:

Itt minden törtek és egyéb meglepetések nélkül zajlott. Ez a normál vektorunk. Szeretni őt. És tisztelet =)

9. példa

Tegye egyenlővé egy pont mentén lévő egyenes és egy normálvektor. Keresse meg az egyenes irányvektorát.

Megoldás: A következő képletet használjuk:

Megkapjuk az egyenes általános egyenletét, ellenőrizzük:

1) "Távolítsa el" a normálvektor koordinátáit az egyenletből: - igen, valóban, az eredeti vektort a feltételből kaptuk (vagy egy kollineáris vektort kell kapni).

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e az egyenletet:

Valódi egyenlőség.

Miután meggyőződtünk az egyenlet helyességéről, végrehajtjuk a feladat második, könnyebb részét. Kivesszük az egyenes irányító vektorát:

Válasz:

A rajzon a helyzet így néz ki:

Képzési célból hasonló feladat önálló megoldáshoz:

10. példa

Egyenlítsük ki az egyenest egy ponttal és normál vektor... Keresse meg az egyenes irányvektorát.

A lecke utolsó részét a síkon lévő egyenesek kevésbé gyakori, de fontos egyenlettípusainak szenteljük.

Egyenes egyenlete szakaszokban.
Paraméteres egyenes egyenlete

A szakaszokban lévő egyenesek egyenlete a következőképpen alakul: ahol nem nulla állandók. Egyes egyenlettípusok nem ábrázolhatók ebben a formában, például az egyenes arányosság (mivel a szabad tag nullával egyenlő, és nincs mód arra, hogy a jobb oldalon egyet kapjunk).

Ez képletesen szólva egy "technikai" típusú egyenlet. Szokásos feladat egy egyenes általános egyenletének ábrázolása egyenes egyenlet formájában szakaszokban. Hogyan kényelmes? Az egyenes szakaszokban lévő egyenlete lehetővé teszi, hogy gyorsan megtalálja az egyenes metszéspontjait koordináta tengelyek, ami nagyon fontos a magasabb matematika egyes problémáinál.

Keresse meg az egyenes metszéspontját a tengellyel. A "játékot" nullázzuk, és az egyenlet felveszi a formát. A kívánt pontot automatikusan megkapja:.

Hasonlóan a tengellyel - az a pont, ahol az egyenes metszi az ordináta tengelyt.

Egyenlet összeállítása azt jelenti, hogy matematikai formában fejezzük ki a probléma (ismert) adatai és a keresett (ismeretlen) értékei közötti kapcsolatot. Ez az összefüggés olykor olyan egyértelműen benne van a probléma megfogalmazásában, hogy az egyenlet felállítása csak a probléma szó szerinti újramondása, a matematikai jelek nyelvén.

1. példa Petrov 160 rubelt kapott a munkájáért. több mint fele annak az összegnek, amit Ivanov kapott. Együtt 1120 rubelt kaptak. Mennyit kapott Petrov és Ivanov a munkájukért? Jelöljük Ivanov keresetét x-szel. Keresetének fele 0,5x; Petrov havi fizetése 0,5x + 160 együtt keresnek 1120 rubelt; az utolsó frázis matematikai jelölése az lesz

(0,5x + 160) + x = 1120.

Az egyenlet összeáll. A megállapított szabályok szerint megoldva Ivanov keresetét találjuk x = 640 rubel; Petrov keresete 0,5x + 160 = 480 (rubel).

Gyakrabban azonban előfordul, hogy az adatok és a kívánt értékek közötti kapcsolat nincs közvetlenül feltüntetve a problémában; a probléma körülményei alapján kell megállapítani. A gyakorlati feladatoknál ez szinte mindig így van. Az imént adott példa mesterkélt; az életben szinte soha nem találkozunk ilyen feladatokkal.

Ezért lehetetlen teljesen kimerítő útmutatást adni az egyenlet összeállításához. Kezdetben azonban célszerű a következőket követni. Vegyünk a kívánt mennyiség (vagy több mennyiség) értékének egy véletlenszerűen vett számot (vagy több számot), és tegyük fel magunknak azt a feladatot, hogy ellenőrizzük, kitaláltuk-e a helyes döntés feladatokat vagy sem. Ha ezt az ellenőrzést elvégeztük, és vagy azt találtuk, hogy a sejtésünk helyes, vagy téves (valószínűleg természetesen ez utóbbi fog bekövetkezni), akkor azonnal összeállíthatjuk a szükséges egyenletet (vagy több egyenletet). Ugyanis pontosan azokat a műveleteket írjuk le, amelyeket ellenőrzésre végeztünk, csak egy véletlenszerűen vett szám helyett egy ismeretlen mennyiség alfabetikus jelét vezetjük be. Megkapjuk a szükséges egyenletet.

2. példa Egy 1 dm3 térfogatú réz és cink ötvözet darabja 8,14 kg tömegű. Mennyi réz van az ötvözetben? (a réz fajsúlya 8,9 kg / dm3; cink - 7,0 kg / dm3).

Vegyünk véletlenszerűen egy számot, amely kifejezi a szükséges réztérfogatot, például 0,3 dm3. Ellenőrizzük, sikeresen vettük-e ezt a számot. Mivel 1 kg / dm3 réz súlya 8,9 kg, akkor 0,3 dm3 súlya 8,9 * 0,3 = 2,67 (kg). Az ötvözetben lévő cink térfogata 1 - 0,3 = 0,7 (dm3). Súlya 7,0 0,7 = 4,9 (kg). A cink és a réz össztömege 2,67 + + 4,9 = 7,57 (kg). Eközben a darabunk súlya a probléma szerint 8,14 kg. Feltételezésünk tarthatatlan. De akkor azonnal kapunk egy egyenletet, amelynek megoldása megadja a helyes választ. A véletlenszerűen vett 0,3 dm3-es szám helyett a réz térfogatát (dm3-ben) x-szel jelöljük. A 8,9 0,3 = 2,67 szorzat helyett a 8,9 x szorzatot vesszük. Ez az ötvözetben lévő réz tömege. 1 - 0,3 = 0,7 helyett 1 - x-et veszünk; ez a cink térfogata. 7,0 0,7 = 4,9 helyett 7,0-t veszünk (1 - x); ez a cink súlya. 2,67 + 4,9 helyett 8,9 x + 7,0 (1 - x) értéket veszünk; ez a cink és a réz össztömege. Feltétel szerint 8,14 kg; tehát 8,9 x + 7,0 (1 - x) = 8,14.

Ezt az egyenletet megoldva x = 0,6. A meghozott döntés kitalálása többféleképpen történhet; ennek megfelelően ugyanarra a feladatra különböző típusú egyenleteket kaphatunk; mindazonáltal mindegyik ugyanazt a megoldást adja a kívánt mennyiségre, az ilyen egyenleteket egymással ekvivalensnek nevezzük.

Természetesen az egyenletkészítési jártasság megszerzése után nem kell a véletlenszerűen vett számot ellenőrizni: a kívánt mennyiség értékére nem számot vehetünk, hanem valamilyen betűt (x, y stb.) ill. Tegyen úgy, mintha ez a betű (ismeretlen) lenne az a szám, amelyet ellenőrizni fogunk.