На ЄДІ з математики профільного рівня в 2019 р ніяких змін немає -програма іспиту, як і в минулі роки, складена з матеріалів основних математичних дисциплін. Вбілетах будуть присутні і математичні, і геометричні, і алгебраїчні завдання.

Змін в КІМ ЄДІ 2019 з математики профільного рівня немає.

Особливості завдань ЄДІ з математики-2019

• Здійснюючи підготовку до ЄДІ з математики (профільної), зверніть увагу на основні вимоги екзаменаційної програми. Вона покликана перевірити знання поглибленої програми: векторні і математичні моделі, функції та логарифми, алгебраїчні рівняння і нерівності.
• Окремо потренируйтесь вирішувати завдання по.
• Важливо проявити нестандартність мислення.

структура іспиту

завдання ЄДІ профільної математики розділені на два блоки.

1. Частина - короткі відповіді, Включає 8 завдань, які перевіряють базову математичну підготовку і вміння застосовувати знання з математики в повсякденності.
2. частина -короткі і розгорнуті відповіді. Складається з 11 завдань, 4 з яких вимагають короткої відповіді, і 7 - розгорнутого з аргументацією щодо виконаних робіт.

• підвищеної складності - завдання 9-17 другій частині Кима.
• Високого рівня складності - завдання 18-19 -. Ця частина екзаменаційних завдань перевіряє не тільки рівень математичних знань, а й наявність або відсутність творчого підходу до вирішення сухих «ціферний» завдань, а такжееффектівность вміння використовувати знання та навички в якості професійного інструменту.

Важливо! Поетомупріподготовке до ЄДІ теорію з математики завжди підкріплюйте рішенням практіческіхзадач.

Як будуть розподіляти бали

Завдання частини першої КІМов поматематіке близькі до тестів ЄДІ базового рівня, Тому високого бала на них набрати неможливо.

Бали за кожне завдання з математики профільного рівня розподілилися так:

• за правильні відповіді на завдання №1-12 - по 1 балу;
• №13-15 - по 2;
• №16-17 - по 3;
• №18-19 - по 4.

Тривалість іспиту і правила поведінки на ЄДІ

Для виконання екзаменаційної роботи -2019 учневі відведено 3 години 55 хвилин (235 хвилин).

У цей час учень не повинен:

• вести себе шумно;
• використовувати гаджети та інші технічні засоби;
• списувати;
• намагатися допомагати іншим, або просити допомоги для себе.

За подібні дії екзаменованого можуть видворити з аудиторії.

на державний іспит з математики дозволено приносити з собою тільки лінійку, інші матеріаливам видадуть безпосередньо перед ЄДІ. видаються на місці.

ефективна підготовка - це рішення онлайн тестів з математики 2019. Вибирай і отримуй максимальний бал!

середнє загальна освіта

лінія УМК Г. К. Муравіна. Алгебра і початки математичного аналізу (10-11) (углиб.)

Лінія УМК Мерзляков. Алгебра і початки аналізу (10-11) (У)

Математика

Підготовка до ЄДІ з математики (профільний рівень): завдання, вирішення і пояснення

Розбираємо завдання і вирішуємо приклади з учителем

Екзаменаційна робота профільного рівня триває 3 години 55 хвилин (235 хвилин).

мінімальний поріг - 27 балів.

Екзаменаційна робота складається з двох частин, які відрізняються за змістом, складністю і кількістю завдань.

Визначальною ознакою кожної частини роботи є форма завдань:

• частина 1 містить 8 завдань (завдання 1-8) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу;
• частина 2 містить 4 завдання (завдання 9-12) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу і 7 завдань (завдання 13-19) з розгорнутою відповіддю (повний запис рішення з обґрунтуванням виконаних дій).

Панова Світлана Анатоліївна, Вчитель математики вищої категорії школи, стаж роботи 20 років:

«Для того щоб отримати шкільний атестат, Випускнику необхідно здати два обов'язкові екзамени в формі ЄДІ, один з яких математика. Відповідно до Концепції розвитку математичної освіти в Російської Федерації ЄДІ з математики розділений на два рівня: базовий і профільний. Сьогодні ми розглянемо варіанти профільного рівня ».

Завдання № 1 - перевіряє в учасників ЄДІ вміння застосовувати навички, отримані в курсі 5 - 9 класів з елементарної математики, в практичної діяльності. Учасник повинен володіти обчислювальними навичками, вміти працювати з раціональними числами, вміти округляти десяткові дроби, вміти переводити одні одиниці вимірювання в інші.

Приклад 1. У квартирі, де проживає Петро, \u200b\u200bвстановили прилад обліку витрати холодної води (Лічильник). Першого травня лічильник показував витрата 172 куб. м води, а першого червня - 177 куб. м. Яку суму повинен заплатити Петро за холодну воду за травень, якщо ціна 1 куб. м холодної води становить 34 руб 17 коп? Відповідь дайте у рублях.

Рішення:

1) Знайдемо кількість витраченої води за місяць:

177 - 172 \u003d 5 (куб м)

2) Знайдемо скільки грошей заплатять за витрачену воду:

34,17 · 5 \u003d 170,85 (руб)

відповідь: 170,85.

Завдання № 2-є одним з найпростіших завдань іспиту. З нею успішно справляється більшість випускників, що свідчить про володіння визначенням поняття функції. Тип завдання № 2 по кодифікатору вимог - це завдання на використання придбаних знань і умінь в практичній діяльності і повсякденному житті. Завдання № 2 складається з опису за допомогою функцій різних реальних залежностей між величинами і інтерпретація їх графіків. Завдання № 2 перевіряє вміння отримувати інформацію, представлену в таблицях, на діаграмах, графіках. Випускникам потрібно вміти визначати значення функції за значенням аргументу при різних способах завдання функції і описувати поведінку і властивості функції по її графіку. Також необхідно вміти знаходити за графіком функції найбільше або найменше значення і будувати графіки вивчених функцій. Допустимі помилки носять випадковий характер в читанні умови задачі, читанні діаграми.

# ADVERTISING_INSERT #

Приклад 2. На малюнку показано зміна біржової вартості однієї акції видобувної компанії в першій половині квітня 2017 року. 7 квітня бізнесмен придбав 1000 акцій цієї компанії. 10 квітня він продав три чверті куплених акцій, а 13 квітня продав все, що залишилися. Скільки втратив бізнесмен в результаті цих операцій?

Рішення:

2) 1 000 · 3/4 \u003d 750 (акцій) - складають 3/4 від усіх куплених акцій.

6) 247500 + 77500 \u003d 325000 (руб) - бізнесмен отримав після продажу 1000 акцій.

7) 340000 - 325000 \u003d 15000 (руб) - втратив бізнесмен в результаті всіх операцій.

відповідь: 15000.

Завдання № 3- є завданням базового рівня першої частини, перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами за змістом курсу «Планіметрія». У завданні 3 перевіряється вміння обчислювати площу фігури на картатій папері, вміння обчислювати градусні міри кутів, обчислювати периметри і т.п.

Приклад 3. Знайдіть площу прямокутника, зображеного на картатій папері з розміром клітини 1 см на 1 см (див. Рис.). Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.

Рішення: Для обчислення площі даної фігури можна скористатися формулою Піка:

Для обчислення площі даного прямокутника скористаємося формулою Піка:

S \u003d В +	Г
	2

де В \u003d 10, Г \u003d 6, тому

S = 18 +	6
	2

відповідь: 20.

Читайте також: ЄДІ з фізики: рішення задач про коливання

Завдання № 4 - завдання курсу «Теорія ймовірностей і статистика». Перевіряється вміння обчислювати ймовірність події в найпростішої ситуації.

Приклад 4. На окружності відзначені 5 червоних і 1 синя точка. Визначте, яких багатокутників більше: тих, у яких все вершини червоні, або тих, у яких одна з вершин синя. У відповіді вкажіть, на скільки одних більше, ніж інших.

Рішення: 1) Скористаємося формулою числа сполучень з n елементів по k:

у яких все вершини червоні.

3) Один п'ятикутник, у якого всі вершини червоні.

4) 10 + 5 + 1 \u003d 16 багатокутників, у яких все вершини червоні.

у яких вершини червоні або з однієї синьої вершиною.

у яких вершини червоні або з однієї синьої вершиною.

8) Один шестіуголнік, у якого вершини червоні з однієї синьої вершиною.

9) 20 + 15 + 6 + 1 \u003d 42 многоуголніка, у яких все вершини червоні або з однієї синьої вершиною.

10) 42 - 16 \u003d 26 багатокутників, в яких використовується синя точка.

11) 26 - 16 \u003d 10 багатокутників - на скільки багатокутників, у яких одна з вершин - синя точка, більше, ніж багатокутників, у яких все вершини тільки червоні.

відповідь: 10.

Завдання № 5 - базового рівня першої частини перевіряє вміння вирішувати найпростіші рівняння (ірраціональні, показникові, тригонометричні, логарифмічні).

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння 2 3+ x \u003d 0,4 · 5 3+ x .

Рішення. Розділимо обидві частини даного рівняння на 5 3+ х ≠ 0, отримаємо

2 3 + x	\u003d 0,4 або		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

звідки випливає, що 3 + x = 1, x = –2.

відповідь: –2.

Завдання № 6 по планіметрії на знаходження геометричних величин (довжин, кутів, площ), моделювання реальних ситуацій на мові геометрії. Дослідження побудованих моделей з використанням геометричних понять і теорем. Джерелом труднощів є, як правило, незнання або неправильне застосування необхідних теорем планіметрії.

Площа трикутника ABC дорівнює 129. DE - середня лінія, паралельна стороні AB. Знайдіть площу трапеції ABED.

Рішення. трикутник CDE подібний трикутнику CAB за двома кутами, так як кут при вершині C загальний, кут СDE дорівнює куту CAB як відповідні кути при DE || AB січною AC. Так як DE - середня лінія трикутника за умовою, то по властивості середньої лінії | DE = (1/2)AB. Значить, коефіцієнт подібності дорівнює 0,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тому

отже, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Завдання № 7- перевіряє застосування похідної до дослідження функції. Для успішного виконання необхідно змістовне, не формальне володіння поняттям похідної.

Приклад 7. До графіка функції y = f(x) В точці з абсцисою x 0 проведена дотична, яка перпендикулярна прямій, що проходить через точки (4, 3) і (3; -1) цього графіка. Знайдіть f′( x 0).

Рішення. 1) Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки і знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки (4, 3) і (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16 | · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x - 13, де k 1 = 4.

2) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної k 2, яка перпендикулярна прямий y = 4x - 13, де k 1 \u003d 4, по формулі:

3) Кутовий коефіцієнт дотичної - похідна функції в точці дотику. значить, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

відповідь: –0,25.

Завдання № 8- перевіряє в учасників іспиту знання з елементарної стереометрії, вміння застосовувати формули знаходження площ поверхонь і об'ємів фігур, двогранні кутів, порівнювати обсяги подібних фігур, вміти виконувати дії з геометричними фігурами, координатами і векторами і т.п.

Обсяг куба, описаного близько сфери, дорівнює 216. Знайдіть радіус сфери.

Рішення. 1) V куба \u003d a 3 (де а - довжина ребра куба), тому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так як сфера вписана в куб, значить, довжина діаметра сфери дорівнює довжині ребра куба, тому d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Завдання № 9 - вимагає від випускника навичок перетворення і спрощення алгебраїчних виразів. Завдання № 9 підвищеного рівня складності з короткою відповіддю. Завдання з розділу «Обчислення і перетворення» в ЄДІ поділяються на кілька видів:

перетворення числових раціональних виразів;

перетворення алгебраїчних виразів і дробів;

перетворення числових / буквених ірраціональних виразів;

дії зі ступенями;

перетворення логарифмічних виразів;

1. перетворення числових / буквених тригонометричних виразів.

Приклад 9. Обчисліть tgα, якщо відомо, що cos2α \u003d 0,6 і

3π	< α < π.
4

Рішення. 1) Скористаємося формулою подвійного аргументу: cos2α \u003d 2 cos 2 α - 1 і знайдемо

tg 2 α \u003d	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Значить, tg 2 α \u003d ± 0,5.

3) За умовою

3π	< α < π,
4

значить, α - кут II чверті і tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

відповідь: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # Завдання № 10- перевіряє в учнів уміння використовувати набуті раніше знання та вміння в практичній діяльності та повсякденному житті. Можна сказати, що це завдання з фізики, а не з математики, але всі необхідні формули і величини дані в умові. Завдання зводяться до вирішення лінійного або квадратного рівняння, Або лінійного або квадратного нерівності. Тому необхідно вміти вирішувати такі рівняння і нерівності, і визначати відповідь. Відповідь має вийти у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу.

Два тіла масою m \u003d 2 кг кожне, рухаються з однаковою швидкістю v \u003d 10 м / с під кутом 2α один до одного. Енергія (в джоулях), що виділяється при їх абсолютно неупругом зіткненні визначається виразом Q = mv 2 sin 2 α. Під яким найменшим кутом 2α (в градусах) повинні рухатися тіла, щоб в результаті зіткнення виділилося не менше 50 джоулів?
Рішення. Для вирішення завдання нам необхідно вирішити нерівність Q ≥ 50, на інтервалі 2α ∈ (0 °; 180 °).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 х 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Так як α ∈ (0 °; 90 °), то будемо вирішувати тільки

Зобразимо рішення нерівності графічно:

Так як за умовою α ∈ (0 °; 90 °), значить 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Завдання № 11 - є типовим, але виявляється непростим для учнів. Головним джерелом труднощів є побудова математичної моделі (складання рівняння). Завдання № 11 перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

Приклад 11. На весняних канікулах 11-класник Вася повинен був вирішити 560 тренувальних завдань для підготовки до ЄДІ. 18 березня в останній навчальний день Вася вирішив 5 завдань. Далі щодня він вирішував на одне і те ж кількість завдань більше в порівнянні з попереднім днем. Визначте, скільки завдань Вася вирішив 2 квітня в останній день канікул.

Рішення: позначимо a 1 \u003d 5 - кількість завдань, які Вася вирішив 18 березня, d - щоденна кількість завдань, що вирішуються Васею, n \u003d 16 - кількість днів з 18 березня по 2 квітня включно, S 16 \u003d 560 - загальна кількість завдань, a 16 - кількість завдань, які Вася вирішив 2 квітня. Знаючи, що щодня Вася вирішував на одне і те ж кількість завдань більше в порівнянні з попереднім днем, то можна використовувати формули знаходження суми арифметичної прогресії:

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

відповідь: 65.

Завдання № 12- перевіряють в учнів уміння виконувати дії з функціями, вміти застосовувати похідну до дослідження функції.

Знайти точку максимуму функції y \u003d 10ln ( x + 9) – 10x + 1.

Рішення: 1) Знайдемо область визначення функції: x + 9 > 0, x \u003e -9, тобто x ∈ (-9; ∞).

2) Знайдемо похідну функції:

4) Знайдена точка належить проміжку (-9; ∞). Визначимо знаки похідної функції і зобразимо на рисунку поведінку функції:

Шукана точка максимуму x = –8.

Завантажити безкоштовно робочу програму з математики до лінії УМК Г.К. Муравіна, К.С. Муравіна, О.В. Муравин 10-11 Завантажити безкоштовно методичні посібники з алгебри

Завдання № 13-підвищення рівня складності з розгорнутою відповіддю, що перевіряє уміння розв'язувати рівняння, найбільш успішно вона вирішується серед завдань із розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.

а) Розв'яжіть рівняння 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

б) Знайдіть всі корені цього рівняння, що належать відрізку.

Рішення: а) Нехай log 3 (2cos x) = t, Тоді 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3 (2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ тому | cos x| ≤ 1,
	log 3 (2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

то cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

б) Знайдемо коріння, що лежать на відрізку.

З малюнка видно, що заданому відрізку належать коріння

11π	і	13π	.
6		6

відповідь: а)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Завдання № 14-підвищення рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а в другому пункті обчислити.

Діаметр окружності підстави циліндра дорівнює 20, що утворює циліндра дорівнює 28. Площина перетинає його заснування по хордам довжини 12 і 16. Відстань між хордами одно 2√197.

а) Доведіть, що центри основ циліндра лежать по одну сторону від цієї площини.

б) Знайдіть кут між цією площиною і площиною основи циліндра.

Рішення: а) Хорда довжиною 12 знаходиться на відстані \u003d 8 від центру кола підстави, а хорда довжиною 16, аналогічно, - на відстані 6. Тому відстань між їх проекціями на площину, паралельну підставах циліндрів, становить або 8 + 6 \u003d 14, або 8 - 6 \u003d 2.

Тоді відстань між хордами становить або

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

За умовою реалізувався другий випадок, в ньому проекції хорд лежать по одну сторону від осі циліндра. Значить, вісь не перетинає дану площину в межах циліндра, то є підстави лежать по одну сторону від неї. Що потрібно було довести.

б) Позначимо центри підстав за О 1 і О 2. Проведемо з центру підстави з хордою довжини 12 серединний перпендикуляр до цієї хорді (він має довжину 8, як уже зазначалося) і з центру іншої основи - до іншої хорді. Вони лежать в одній площині β, перпендикулярної цим хордам. Назвемо середину меншою хорди B, більшою A і проекцію A на друга підстава - H (H ∈ β). Тоді AB, AH ∈ β і значить, AB, AH перпендикулярні хорді, тобто прямий перетину підстави з даної площиною.

Значить, шуканий кут дорівнює

∠ABH \u003d arctg	AH	\u003d arctg	28	\u003d Arctg14.
	BH		8 – 6

Завдання № 15 - підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю, перевіряє вміння вирішувати нерівності, найбільш успішно вона вирішується серед завдань із розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.

Приклад 15. Вирішіть нерівність | x 2 – 3x| · Log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Рішення: Областю визначення даної нерівності є інтервал (-1; + ∞). Розглянь окремо три випадки:

1) Нехай x 2 – 3x \u003d 0, тобто х\u003d 0 або х \u003d 3. У цьому випадку таку нерівність перетворюється в вірне, отже, ці значення входять в рішення.

2) Нехай тепер x 2 – 3x \u003e 0, тобто x ∈ (-1; 0) ∪ (3; + ∞). При цьому таку нерівність можна переписати у вигляді ( x 2 – 3x) · Log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 і розділити на позитивне вираження x 2 – 3x. Отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 -1 або x ≤ -0,5. З огляду на область визначення, маємо x ∈ (–1; –0,5].

3) Нарешті, розглянемо x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При цьому вихідна нерівність перепишеться у вигляді (3 x – x 2) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Після поділу на позитивне вираження 3 x – x 2, отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. З огляду на область, маємо x ∈ (0; 1].

Об'єднуючи отримані рішення, отримуємо x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

відповідь: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Завдання № 16- підвищеного рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами, координатами і векторами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а в другому пункті обчислити.

В трикутник ABC з кутом 120 ° при вершині A проведена бісектриса BD. У трикутник ABC вписаний прямокутник DEFH так, що сторона FH лежить на відрізку BC, а вершина E - на відрізку AB. а) Доведіть, що FH \u003d 2DH. б) Знайдіть площу прямокутника DEFH, якщо AB \u003d 4.

Рішення: а)

1) ΔBEF - прямокутний, EF⊥BC, ∠B \u003d (180 ° - 120 °): 2 \u003d 30 °, тоді EF \u003d BE по властивості катета, що лежить проти кута 30 °.

2) Нехай EF \u003d DH \u003d x, Тоді BE \u003d 2 x, BF \u003d x√3 по теоремі Піфагора.

3) Так як ΔABC рівнобедрений, отже, ∠B \u003d ∠C \u003d 30˚.

BD - бісектриса ∠B, значить ∠ABD \u003d ∠DBC \u003d 15˚.

4) Розглянемо ΔDBH - прямокутний, тому що DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF \u003d 3 - √3

2) S DEFH \u003d ED · EF \u003d (3 - √3) · 2 (3 - √3)

S DEFH \u003d 24 - 12√3.

відповідь: 24 – 12√3.

Завдання № 17 - завдання з розгорнутою відповіддю, це завдання перевіряє застосування знань і умінь в практичній діяльності і повсякденному житті, вміння будувати і досліджувати математичні моделі. Це завдання - текстова задача з економічним змістом.

Приклад 17. Внесок у розмірі 20 млн рублів планується відкрити на чотири роки. В кінці кожного року банк збільшує внесок на 10% в порівнянні з його розміром на початку року. Крім того, на початку третього і четвертого років вкладник щорічно поповнює вклад на х млн. рублів, де х - ціле число. Знайдіть найбільше значення х, При якому банк за чотири роки нарахує на вклад менше 17 млн \u200b\u200bрублів.

Рішення: В кінці першого року внесок складе 20 + 20 · 0,1 \u003d 22 млн рублів, а в кінці другого - 22 + 22 · 0,1 \u003d 24,2 млн рублів. На початку третього року внесок (в млн рублів) складе (24,2 + х), А в кінці - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 \u003d (26,62 + 1,1 х). На початку четвертого року внесок складе (26,62 + 2,1 х), А в кінці - (26,62 + 2,1 х) + (26,62 + 2,1х) · 0,1 \u003d (29,282 + 2,31 х). За умовою, потрібно знайти найбільше ціле x, для якого виконано нерівність

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Найбільший цілий розв'язок цієї нерівності - число 24.

відповідь: 24.

Завдання № 18 - завдання підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю. Це завдання призначене для конкурсного відбору до вузів з підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. завдання високого рівня складності - це завдання нема на застосування одного методу рішення, а на комбінацію різних методів. Для успішного виконання завдання 18 необхідний, крім міцних математичних знань, також високий рівень математичної культури.

при будь a система нерівностей

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

має рівно два рішення?

Рішення: Дану систему можна переписати у вигляді

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

Якщо намалювати на площині безліч рішень першого нерівності, вийде внутрішність круга (з кордоном) радіуса 1 з центром в точці (0, а). Безліч рішень другого нерівності - частина площини, що лежить під графіком функції y = | x| – a, причому останній є графік функції
y = | x| , Зрушений вниз на а. Рішення даної системи є перетин множин рішень кожного з нерівностей.

Отже, два рішення дана система буде мати лише в разі, зображеному на рис. 1.

Точки дотику кола з прямими і будуть двома рішеннями системи. Кожна з прямих нахилена до осей під кутом 45 °. Значить, трикутник PQR - прямокутний рівнобедрений. Крапка Q має координати (0, а), А точка R - координати (0, - а). Крім того, відрізки PR і PQ рівні радіусу кола, рівному 1. Значить,

Qr= 2a = √2, a =	√2	.
	2

відповідь: a =	√2	.
	2

Завдання № 19- завдання підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю. Це завдання призначене для конкурсного відбору до вузів з підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. Завдання високого рівня складності - це завдання нема на застосування одного методу рішення, а на комбінацію різних методів. Для успішного виконання завдання 19 необхідно вміти здійснювати пошук рішення, вибираючи різні підходи з числа відомих, модифікуючи вивчені методи.

нехай Sn сума п членів арифметичної прогресії ( а п). Відомо що S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Вкажіть формулу п-го члена цієї прогресії.

б) Знайдіть найменшу по модулю суму S n.

в) Знайдіть найменше п, за якого S n буде квадратом цілого числа.

Рішення: А) Очевидно, що a n = S n – S n - 1. Використовуючи дану формулу, отримуємо:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

значить, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так як S n = 2n 2 – 25n, То розглянемо функцію S(x) = | 2x 2 – 25x |. Її графік можна побачити на малюнку.

Очевидно, що найменше значення досягається в цілочисельних точках, розташованих найближче до нулів функції. Очевидно, що це точки х= 1, х\u003d 12 і х\u003d 13. Оскільки, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | \u003d | 2 · 144 - 25 · 12 | \u003d 12, S(13) = |S 13 | \u003d | 2 · 169 - 25 · 13 | \u003d 13, то найменше значення дорівнює 12.

в) З попереднього пункту випливає, що Sn позитивно, починаючи з n \u003d 13. Так як S n = 2n 2 – 25n = n(2n - 25), то очевидний випадок, коли цей вислів є повним квадратом, реалізується при n = 2n - 25, тобто при п= 25.

Залишилося перевірити значення з 13 до 25:

S 13 \u003d 13 · 1, S 14 \u003d 14 · 3, S 15 \u003d 15 · 5, S 16 \u003d 16 · 7, S 17 \u003d 17 · 9, S 18 \u003d 18 · 11, S 19 \u003d 19 · 13, S 20 \u003d 20 · 13, S 21 \u003d 21 · 17, S 22 \u003d 22 · 19, S 23 \u003d 23 · 21, S 24 \u003d 24 · 23.

Виходить, що при менших значеннях п повний квадрат не досягається.

відповідь: а) a n = 4n - 27; б) 12; в) 25.

________________

* З травня 2017 року об'єднана видавнича група «ДРОФА-ВЕНТАНА» входить в корпорацію «Російський підручник». У корпорацію також увійшли видавництво «Астрель» і цифрова освітня платформа «LECTA». Генеральним директором призначено Олександра Бричкін, випускник фінансової академії при Уряді РФ, кандидат економічних наук, керівник інноваційних проектів видавництва «ДРОФА» в сфері цифрового освіти (електронні форми підручників, «Українські школа», цифрова освітня платформа LECTA). До приходу в видавництво «ДРОФА» займав позицію віце-президента зі стратегічного розвитку та інвестицій видавничого холдингу «ЕКСМО-АСТ». Сьогодні видавнича корпорація «Російський підручник» володіє найбільшим портфелем підручників, включених до Федерального перелік - 485 найменувань (приблизно 40%, без урахування підручників для корекційної школи). Видавництвам корпорації належать найбільш затребувані російськими школами комплекти підручників з фізики, креслення, біології, хімії, технології, географії, астрономії - областям знань, які потрібні для розвитку виробничого потенціалу країни. У портфель корпорації входять підручники та навчальні посібники для початкової школи, Удостоєні Премії Президента в галузі освіти. Це підручники і посібники з предметним областям, які необхідні для розвитку науково-технічного і виробничого потенціалу Росії.

оцінювання

двох частин, Що включають в себе 19 завдань. Частина 1 Частина 2

3 години 55 хвилин (235 хвилин).

відповіді

але можна зробити циркуль калькулятори на екзамені не використовуються.

паспорт), пропуск і капілярну чи! дозволяють брати з собою воду (В прозорій пляшці) і їжу

Екзаменаційна робота складається з двох частин, Що включають в себе 19 завдань. Частина 1 містить 8 завдань базового рівня складності з короткою відповіддю. Частина 2 cодержит 4 завдання підвищеного рівня складності з короткою відповіддю і 7 завдань високого рівня складності з розгорнутою відповіддю.

На виконання екзаменаційної роботи з математики відводиться 3 години 55 хвилин (235 хвилин).

відповіді до завдань 1-12 записуються у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу. Числа запишіть в поля відповідей в тексті роботи, а потім перенесіть в бланк відповідей № 1, виданий на іспиті!

При виконанні роботи Ви можете скористатися, що видаються разом з роботою. Дозволяється використовувати лише лінійку, Але можна зробити циркуль своїми руками. Забороняється використовувати інструменти з нанесеними на них довідковими матеріалами. калькулятори на екзамені не використовуються.

На іспиті при собі треба мати документ, що засвідчує особу ( паспорт), пропуск і капілярну чи гелеву ручку з чорним чорнилом! дозволяють брати з собою воду (В прозорій пляшці) і їжу (Фрукти, шоколадку, булочки, бутерброди), але можуть попросити залишити в коридорі.