Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільної ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класу, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) і завдання 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтися ні стобалльніку, ні гуманітарію.

Вся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки і секрети ЄДІ. Розібрані всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПІ. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тим, за 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання і теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми вирішення задач. Геометрія. теорія, довідковий матеріал, Розбір всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня і логарифми, функція і похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

середнє Загальна освіта

лінія УМКГ. К. Муравіна. Алгебра і початки математичного аналізу (10-11) (углиб.)

Лінія УМК Мерзляков. Алгебра і початки аналізу (10-11) (У)

Математика

Підготовка до ЄДІ з математики (профільний рівень): завдання, вирішення і пояснення

Розбираємо завдання і вирішуємо приклади з учителем

екзаменаційна робота профільного рівнятриває 3 години 55 хвилин (235 хвилин).

мінімальний поріг- 27 балів.

Екзаменаційна робота складається з двох частин, які відрізняються за змістом, складністю і кількістю завдань.

Визначальною ознакою кожної частини роботи є форма завдань:

• частина 1 містить 8 завдань (завдання 1-8) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу;
• частина 2 містить 4 завдання (завдання 9-12) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу і 7 завдань (завдання 13-19) з розгорнутою відповіддю (повний запис рішення з обґрунтуванням виконаних дій).

Панова Світлана Анатоліївна, Вчитель математики вищої категорії школи, стаж роботи 20 років:

«Для того щоб отримати шкільний атестат, випускнику необхідно здати два обов'язкові екзаменив формі ЄДІ, один з яких математика. Відповідно до Концепції розвитку математичної освітив Російської ФедераціїЄДІ з математики розділений на два рівня: базовий і профільний. Сьогодні ми розглянемо варіанти профільного рівня ».

Завдання № 1- перевіряє в учасників ЄДІ вміння застосовувати навички, отримані в курсі 5 - 9 класів з елементарної математики, в практичної діяльності. Учасник повинен володіти обчислювальними навичками, вміти працювати з раціональними числами, вміти округляти десяткові дроби, вміти переводити одні одиниці вимірювання в інші.

Приклад 1.У квартирі, де проживає Петро, ​​встановили прилад обліку витрати холодної води(Лічильник). Першого травня лічильник показував витрата 172 куб. м води, а першого червня - 177 куб. м. Яку суму повинен заплатити Петро за холодну воду за травень, якщо ціна 1 куб. м холодної води становить 34 руб 17 коп? Відповідь дайте у рублях.

Рішення:

1) Знайдемо кількість витраченої води за місяць:

177 - 172 = 5 (куб м)

2) Знайдемо скільки грошей заплатять за витрачену воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

відповідь: 170,85.

Завдання № 2-є одним з найпростіших завдань іспиту. З нею успішно справляється більшість випускників, що свідчить про володіння визначенням поняття функції. Тип завдання № 2 по кодифікатору вимог - це завдання на використання придбаних знань і умінь в практичній діяльності і повсякденному житті. Завдання № 2 складається з опису за допомогою функцій різних реальних залежностей між величинами і інтерпретація їх графіків. Завдання № 2 перевіряє вміння отримувати інформацію, представлену в таблицях, на діаграмах, графіках. Випускникам потрібно вміти визначати значення функції за значенням аргументу при різних способах завдання функції і описувати поведінку і властивості функції по її графіку. Також необхідно вміти знаходити за графіком функції найбільше або найменше значенняі будувати графіки вивчених функцій. Допустимі помилки носять випадковий характер в читанні умови задачі, читанні діаграми.

# ADVERTISING_INSERT #

Приклад 2.На малюнку показано зміна біржової вартості однієї акції видобувної компанії в першій половині квітня 2017 року. 7 квітня бізнесмен придбав 1000 акцій цієї компанії. 10 квітня він продав три чверті куплених акцій, а 13 квітня продав все, що залишилися. Скільки втратив бізнесмен в результаті цих операцій?

Рішення:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акцій) - складають 3/4 від усіх куплених акцій.

6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бізнесмен отримав після продажу 1000 акцій.

7) 340000 - 325000 = 15000 (руб) - втратив бізнесмен в результаті всіх операцій.

відповідь: 15000.

Завдання № 3- є завданням базового рівняпершій частині, перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами за змістом курсу «Планіметрія». У завданні 3 перевіряється вміння обчислювати площу фігури на картатій папері, вміння обчислювати градусні міри кутів, обчислювати периметри і т.п.

Приклад 3.Знайдіть площу прямокутника, зображеного на картатій папері з розміром клітини 1 см на 1 см (див. Рис.). Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.

Рішення:Для обчислення площі даної фігури можна скористатися формулою Піка:

Для обчислення площі даного прямокутника скористаємося формулою Піка:

S= В +	Г
	2

де В = 10, Г = 6, тому

S = 18 +	6
	2

відповідь: 20.

Читайте також: ЄДІ з фізики: рішення задач про коливання

Завдання № 4- завдання курсу «Теорія ймовірностей і статистика». Перевіряється вміння обчислювати ймовірність події в найпростішої ситуації.

Приклад 4.На окружності відзначені 5 червоних і 1 синя точка. Визначте, яких багатокутників більше: тих, у яких все вершини червоні, або тих, у яких одна з вершин синя. У відповіді вкажіть, на скільки одних більше, ніж інших.

Рішення: 1) Скористаємося формулою числа сполучень з nелементів по k:

у яких все вершини червоні.

3) Один п'ятикутник, у якого всі вершини червоні.

4) 10 + 5 + 1 = 16 багатокутників, у яких все вершини червоні.

у яких вершини червоні або з однієї синьої вершиною.

у яких вершини червоні або з однієї синьої вершиною.

8) Один шестіуголнік, у якого вершини червоні з однієї синьої вершиною.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголніка, у яких все вершини червоні або з однієї синьої вершиною.

10) 42 - 16 = 26 багатокутників, в яких використовується синя точка.

11) 26 - 16 = 10 багатокутників - на скільки багатокутників, у яких одна з вершин - синя точка, більше, ніж багатокутників, у яких все вершини тільки червоні.

відповідь: 10.

Завдання № 5- базового рівня першої частини перевіряє вміння вирішувати найпростіші рівняння (ірраціональні, показникові, тригонометричні, логарифмічні).

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2 3+ x= 0,4 · 5 3+ x .

Рішення.Розділимо обидві частини даного рівнянняна 5 3+ х≠ 0, отримаємо

2 3 + x	= 0,4 або		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

звідки випливає, що 3 + x = 1, x = –2.

відповідь: –2.

Завдання № 6по планіметрії на знаходження геометричних величин (довжин, кутів, площ), моделювання реальних ситуацій на мові геометрії. Дослідження побудованих моделей з використанням геометричних понять і теорем. Джерелом труднощів є, як правило, незнання або неправильне застосування необхідних теорем планіметрії.

Площа трикутника ABCдорівнює 129. DE- середня лінія, паралельна стороні AB. Знайдіть площу трапеції ABED.

Рішення.трикутник CDEподібний трикутнику CABза двома кутами, так як кут при вершині Cзагальний, кут СDEдорівнює куту CABяк відповідні кути при DE || ABсічною AC. Так як DE- середня лінія трикутника за умовою, то по властивості середньої лінії | DE = (1/2)AB. Значить, коефіцієнт подібності дорівнює 0,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тому

отже, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Завдання № 7- перевіряє застосування похідної до дослідження функції. Для успішного виконання необхідно змістовне, не формальне володіння поняттям похідної.

Приклад 7.До графіка функції y = f(x) В точці з абсцисою x 0 проведена дотична, яка перпендикулярна прямій, що проходить через точки (4, 3) і (3; -1) цього графіка. Знайдіть f′( x 0).

Рішення. 1) Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві задані точкиі знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки (4, 3) і (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16 | · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, де k 1 = 4.

2) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної k 2, яка перпендикулярна прямий y = 4x- 13, де k 1 = 4, по формулі:

3) Кутовий коефіцієнт дотичної - похідна функції в точці дотику. значить, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

відповідь: –0,25.

Завдання № 8- перевіряє в учасників іспиту знання з елементарної стереометрії, вміння застосовувати формули знаходження площ поверхонь і об'ємів фігур, двогранні кутів, порівнювати обсяги подібних фігур, вміти виконувати дії з геометричними фігурами, координатами і векторами і т.п.

Обсяг куба, описаного близько сфери, дорівнює 216. Знайдіть радіус сфери.

Рішення. 1) Vкуба = a 3 (де а- довжина ребра куба), тому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так як сфера вписана в куб, значить, довжина діаметра сфери дорівнює довжині ребра куба, тому d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Завдання № 9- вимагає від випускника навичок перетворення і спрощення алгебраїчних виразів. Завдання № 9 підвищеного рівня складності з короткою відповіддю. Завдання з розділу «Обчислення і перетворення» в ЄДІ поділяються на кілька видів:

перетворення числових раціональних виразів;

перетворення алгебраїчних виразів і дробів;

перетворення числових / буквених ірраціональних виразів;

дії зі ступенями;

перетворення логарифмічних виразів;

1. перетворення числових / буквених тригонометричних виразів.

Приклад 9.Обчисліть tgα, якщо відомо, що cos2α = 0,6 і

3π	< α < π.
4

Рішення. 1) Скористаємося формулою подвійного аргументу: cos2α = 2 cos 2 α - 1 і знайдемо

tg 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Значить, tg 2 α = ± 0,5.

3) За умовою

3π	< α < π,
4

значить, α - кут II чверті і tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

відповідь: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # Завдання № 10- перевіряє в учнів уміння використовувати набуті раніше знання та вміння в практичній діяльності та повсякденному житті. Можна сказати, що це завдання з фізики, а не з математики, але всі необхідні формули і величини дані в умові. Завдання зводяться до вирішення лінійного або квадратного рівняння, Або лінійного або квадратного нерівності. Тому необхідно вміти вирішувати такі рівняння і нерівності, і визначати відповідь. Відповідь має вийти у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу.

Два тіла масою m= 2 кг кожне, рухаються з однаковою швидкістю v= 10 м / с під кутом 2α один до одного. Енергія (в джоулях), що виділяється при їх абсолютно неупругом зіткненні визначається виразом Q = mv 2 sin 2 α. Під яким найменшим кутом 2α (в градусах) повинні рухатися тіла, щоб в результаті зіткнення виділилося не менше 50 джоулів?
Рішення.Для вирішення завдання нам необхідно вирішити нерівність Q ≥ 50, на інтервалі 2α ∈ (0 °; 180 °).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 х 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Так як α ∈ (0 °; 90 °), то будемо вирішувати тільки

Зобразимо рішення нерівності графічно:

Так як за умовою α ∈ (0 °; 90 °), значить 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Завдання № 11- є типовим, але виявляється непростим для учнів. Головним джерелом труднощів є побудова математичної моделі (складання рівняння). Завдання № 11 перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

Приклад 11.На весняних канікулах 11-класник Вася повинен був вирішити 560 тренувальних завдань для підготовки до ЄДІ. 18 березня в останній навчальний день Вася вирішив 5 завдань. Далі щодня він вирішував на одне і те ж кількість завдань більше в порівнянні з попереднім днем. Визначте, скільки завдань Вася вирішив 2 квітня в останній день канікул.

Рішення:позначимо a 1 = 5 - кількість завдань, які Вася вирішив 18 березня, d- щоденна кількість завдань, що вирішуються Васею, n= 16 - кількість днів з 18 березня по 2 квітня включно, S 16 = 560 - загальна кількість завдань, a 16 - кількість завдань, які Вася вирішив 2 квітня. Знаючи, що щодня Вася вирішував на одне і те ж кількість завдань більше в порівнянні з попереднім днем, то можна використовувати формули знаходження суми арифметичної прогресії:

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

відповідь: 65.

Завдання № 12- перевіряють в учнів уміння виконувати дії з функціями, вміти застосовувати похідну до дослідження функції.

Знайти точку максимуму функції y= 10ln ( x + 9) – 10x + 1.

Рішення: 1) Знайдемо область визначення функції: x + 9 > 0, x> -9, тобто x ∈ (-9; ∞).

2) Знайдемо похідну функції:

4) Знайдена точка належить проміжку (-9; ∞). Визначимо знаки похідної функції і зобразимо на рисунку поведінку функції:

Шукана точка максимуму x = –8.

Завантажити безкоштовно робочу програму з математики до лінії УМК Г.К. Муравіна, К.С. Муравіна, О.В. Муравин 10-11 Завантажити безкоштовно методичні посібники з алгебри

Завдання № 13-підвищення рівня складності з розгорнутою відповіддю, що перевіряє уміння розв'язувати рівняння, найбільш успішно вона вирішується серед завдань із розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.

а) Розв'яжіть рівняння 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

б) Знайдіть всі корені цього рівняння, що належать відрізку.

Рішення:а) Нехай log 3 (2cos x) = t, Тоді 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3 (2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ тому | cos x| ≤ 1,
	log 3 (2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

то cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

б) Знайдемо коріння, що лежать на відрізку.

З малюнка видно, що заданому відрізку належать коріння

11π	і	13π	.
6		6

відповідь:а)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Завдання № 14-підвищення рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а в другому пункті обчислити.

Діаметр окружності підстави циліндра дорівнює 20, що утворює циліндра дорівнює 28. Площина перетинає його заснування по хордам довжини 12 і 16. Відстань між хордами одно 2√197.

а) Доведіть, що центри основ циліндра лежать по одну сторону від цієї площини.

б) Знайдіть кут між цією площиною і площиною основи циліндра.

Рішення:а) Хорда довжиною 12 знаходиться на відстані = 8 від центру кола підстави, а хорда довжиною 16, аналогічно, - на відстані 6. Тому відстань між їх проекціями на площину, паралельну підставахциліндрів, становить або 8 + 6 = 14, або 8 - 6 = 2.

Тоді відстань між хордами становить або

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

За умовою реалізувався другий випадок, в ньому проекції хорд лежать по одну сторону від осі циліндра. Значить, вісь не перетинає дану площину в межах циліндра, то є підстави лежать по одну сторону від неї. Що потрібно було довести.

б) Позначимо центри підстав за О 1 і О 2. Проведемо з центру підстави з хордою довжини 12 серединний перпендикуляр до цієї хорді (він має довжину 8, як уже зазначалося) і з центру іншої основи - до іншої хорді. Вони лежать в одній площині β, перпендикулярної цим хордам. Назвемо середину меншою хорди B, більшою A і проекцію A на друга підстава - H (H ∈ β). Тоді AB, AH ∈ β і значить, AB, AH перпендикулярні хорді, тобто прямий перетину підстави з даної площиною.

Значить, шуканий кут дорівнює

∠ABH = arctg	AH	= arctg	28	= Arctg14.
	BH		8 – 6

Завдання № 15- підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю, перевіряє вміння вирішувати нерівності, найбільш успішно вона вирішується серед завдань із розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.

Приклад 15.Вирішіть нерівність | x 2 – 3x| · Log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Рішення:Областю визначення даної нерівності є інтервал (-1; + ∞). Розглянь окремо три випадки:

1) Нехай x 2 – 3x= 0, тобто х= 0 або х= 3. У цьому випадку таку нерівність перетворюється в вірне, отже, ці значення входять в рішення.

2) Нехай тепер x 2 – 3x> 0, тобто x∈ (-1; 0) ∪ (3; + ∞). При цьому таку нерівність можна переписати у вигляді ( x 2 – 3x) · Log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 і розділити на позитивне вираження x 2 – 3x. Отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 або x≤ -0,5. З огляду на область визначення, маємо x ∈ (–1; –0,5].

3) Нарешті, розглянемо x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). При цьому вихідна нерівність перепишеться у вигляді (3 x – x 2) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Після поділу на позитивне вираження 3 x – x 2, отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. З огляду на область, маємо x ∈ (0; 1].

Об'єднуючи отримані рішення, отримуємо x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

відповідь: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Завдання № 16- підвищеного рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами, координатами і векторами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а в другому пункті обчислити.

В трикутник ABC з кутом 120 ° при вершині A проведена бісектриса BD. У трикутник ABC вписаний прямокутник DEFH так, що сторона FH лежить на відрізку BC, а вершина E - на відрізку AB. а) Доведіть, що FH = 2DH. б) Знайдіть площу прямокутника DEFH, якщо AB = 4.

Рішення:а)

1) ΔBEF - прямокутний, EF⊥BC, ∠B = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °, тоді EF = BE по властивості катета, що лежить проти кута 30 °.

2) Нехай EF = DH = x, Тоді BE = 2 x, BF = x√3 по теоремі Піфагора.

3) Так як ΔABC рівнобедрений, отже, ∠B = ∠C = 30˚.

BD - бісектриса ∠B, значить ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Розглянемо ΔDBH - прямокутний, тому що DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 - √3) · 2 (3 - √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

відповідь: 24 – 12√3.

Завдання № 17- завдання з розгорнутою відповіддю, це завдання перевіряє застосування знань і умінь в практичній діяльності і повсякденному житті, вміння будувати і досліджувати математичні моделі. Це завдання - текстова задача з економічним змістом.

Приклад 17.Внесок у розмірі 20 млн рублів планується відкрити на чотири роки. В кінці кожного року банк збільшує внесок на 10% в порівнянні з його розміром на початку року. Крім того, на початку третього і четвертого років вкладник щорічно поповнює вклад на хмлн. рублів, де х - цілечисло. Знайдіть найбільше значення х, При якому банк за чотири роки нарахує на вклад менше 17 млн ​​рублів.

Рішення:В кінці першого року внесок складе 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублів, а в кінці другого - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублів. На початку третього року внесок (в млн рублів) складе (24,2 + х), А в кінці - (24,2 + х) + (24,2 + х)· 0,1 = (26,62 + 1,1 х). На початку четвертого року внесок складе (26,62 + 2,1 х), А в кінці - (26,62 + 2,1 х) + (26,62 + 2,1х) · 0,1 = (29,282 + 2,31 х). За умовою, потрібно знайти найбільше ціле x, для якого виконано нерівність

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Найбільший цілий розв'язок цієї нерівності - число 24.

відповідь: 24.

Завдання № 18- завдання підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю. Це завдання призначене для конкурсного відбору до вузів з підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. Завдання високого рівня складності - це завдання нема на застосування одного методу рішення, а на комбінацію різних методів. Для успішного виконання завдання 18 необхідний, крім міцних математичних знань, також високий рівень математичної культури.

при будь aсистема нерівностей

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

має рівно два рішення?

Рішення:Дану систему можна переписати у вигляді

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

Якщо намалювати на площині безліч рішень першого нерівності, вийде внутрішність круга (з кордоном) радіуса 1 з центром в точці (0, а). Безліч рішень другого нерівності - частина площини, що лежить під графіком функції y = | x| – a, причому останній є графік функції
y = | x| , Зрушений вниз на а. Рішення даної системи є перетин множин рішень кожного з нерівностей.

Отже, два рішення дана система буде мати лише в разі, зображеному на рис. 1.

Точки дотику кола з прямими і будуть двома рішеннями системи. Кожна з прямих нахилена до осей під кутом 45 °. Значить, трикутник PQR- прямокутний рівнобедрений. Крапка Qмає координати (0, а), А точка R- координати (0, - а). Крім того, відрізки PRі PQрівні радіусу кола, рівному 1. Значить,

Qr= 2a = √2, a =	√2	.
	2

відповідь: a =	√2	.
	2

Завдання № 19- завдання підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю. Це завдання призначене для конкурсного відбору до вузів з підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. Завдання високого рівня складності - це завдання нема на застосування одного методу рішення, а на комбінацію різних методів. Для успішного виконання завдання 19 необхідно вміти здійснювати пошук рішення, вибираючи різні підходи з числа відомих, модифікуючи вивчені методи.

нехай Snсума пчленів арифметичної прогресії ( а п). Відомо що S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Вкажіть формулу п-го члена цієї прогресії.

б) Знайдіть найменшу по модулю суму S n.

в) Знайдіть найменше п, за якого S nбуде квадратом цілого числа.

Рішення: А) Очевидно, що a n = S n – S n- 1. Використовуючи дану формулу, отримуємо:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

значить, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так як S n = 2n 2 – 25n, То розглянемо функцію S(x) = | 2x 2 – 25x |. Її графік можна побачити на малюнку.

Очевидно, що найменше значення досягається в цілочисельних точках, розташованих найближче до нулів функції. Очевидно, що це точки х= 1, х= 12 і х= 13. Оскільки, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 · 169 - 25 · 13 | = 13, то найменше значення дорівнює 12.

в) З попереднього пункту випливає, що Snпозитивно, починаючи з n= 13. Так як S n = 2n 2 – 25n = n(2n- 25), то очевидний випадок, коли цей вислів є повним квадратом, реалізується при n = 2n- 25, тобто при п= 25.

Залишилося перевірити значення з 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Виходить, що при менших значеннях пповний квадрат не досягається.

відповідь:а) a n = 4n- 27; б) 12; в) 25.

________________

* З травня 2017 року об'єднана видавнича група «ДРОФА-ВЕНТАНА» входить в корпорацію «Російський підручник». У корпорацію також увійшли видавництво «Астрель» і цифрова освітня платформа «LECTA». Генеральним директором призначено Олександра Бричкін, випускник фінансової академіїпри Уряді РФ, кандидат економічних наук, керівник інноваційних проектів видавництва «ДРОФА» в сфері цифрового освіти (електронні форми підручників, «Українські школа», цифрова освітня платформа LECTA). До приходу в видавництво «ДРОФА» займав позицію віце-президента зі стратегічного розвитку та інвестицій видавничого холдингу «ЕКСМО-АСТ». Сьогодні видавнича корпорація «Російський підручник» володіє найбільшим портфелем підручників, включених до Федерального перелік - 485 найменувань (приблизно 40%, без урахування підручників для корекційної школи). Видавництвам корпорації належать найбільш затребувані російськими школами комплекти підручників з фізики, креслення, біології, хімії, технології, географії, астрономії - областям знань, які потрібні для розвитку виробничого потенціалу країни. У портфель корпорації входять підручники та навчальні посібникидля початкової школи, Удостоєні Премії Президента в галузі освіти. Це підручники і посібники з предметним областям, які необхідні для розвитку науково-технічного і виробничого потенціалу Росії.

У даній статті представлений розбір завдань 9-12 частини 2 ЄДІ з математики профільного рівня від репетитора з математики та фізики. Відеоурок репетитора з розбором запропонованих завдань містить докладні і зрозумілі коментарі по кожному з них. Якщо ви тільки почали підготовку до ЄДІ з математики, дана стаття може виявитися для вас дуже корисною.

9. Знайдіть значення виразу

Використовуючи властивості логарифмів, з якими ви можете детально ознайомитися в або в пропонованому вище відеоуроці, перетворимо вираз:

10. Пружинний маятник здійснює коливання з періодом T= 16 с. Маса підвішеного вантажу m= 0,8 кг. Швидкість руху вантажу змінюється з протягом часу відповідно до формули . При цьому м / с. Визначальна формула кінетичної енергії (в джоулях) має вигляд:, де mбереться в кілограмах, - в метрах в секунду. Чому в джоулях дорівнює кінетична енергія вантажу через 10 секунд після початку коливального руху?

Швидкість руху вантажу через 10 секунд після початку коливального руху буде дорівнює:

Тоді кінетична енергія в цей момент часу буде дорівнює:

Дж.

нехай x- ціна одного льодяника, а y- ціна шоколадки. Тоді 6 льодяників стоять 6 x, А 2% від вартості шоколадки рівні 0,02 y. Оскільки відомо, що 6 льодяників коштують дешевше шоколадки на 2%, то має місце перше рівняння: 6 x + 0,02y = y, З якого отримуємо, що x = 0,98/6 y = 98/600 y = 49/300 y. У свою чергу 9 льодяників стоять 9 x, Тобто 9 · 49/300 y = 49/300 y = 1,47 y. Завдання зводиться до того, щоб визначити на скільки відсотків 1,47 yбільше ніж y. якщо yстановить 100%, то 1,47 yстановить 1,47 · 100% = 147%. Тобто 1,47 yбільшому, ніж yна 47%.

12. Знайдіть точку мінімуму функції.

1) ОДЗ задається нерівністю: title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="23" width="106" style="vertical-align: -5px;"> (так выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше нуля), откуда получаем, что .!}

2) Шукаємо похідну функції. Докладна розповідь про те, як обчислюється похідна даної функції, дивіться у відео вище. Похідна функції дорівнює:

3) Шукаємо значення x, При яких похідна дорівнює 0 або не існує. Вона не існує при, так як в цьому випадку знаменник звертається в нуль. Похідна обнуляється, коли.

Поїзд відправився з Санкт-Петербурга о 23 годині 50 хвилин (час московський) і прибув до Москви о 7 годині 50 хвилин наступної доби. Скільки годин потяг перебував у дорозі?

- Вміти використовувати набуті знання і вміння в практичній діяльності та повсякденному житті.
- Аналізувати реальні числові дані; здійснювати практичні розрахунки за формулами, користуватися оцінкою і прикидкой при практичних розрахунках.
Простіше кажучи, вміти вирішувати текстові задачі , Якою і є задача 1 частини 1.
Завдання цього типу різноманітні і докладно представлені на сайті "математичка".

При підготовці до іспиту потрібно повторитинаступні теми:

• Цілі числа.
• Дробу, відсотки, раціональні числа.
• Застосування математичних методів для вирішення змістовних завдань з різних областейнауки і практики.

Текстові еадачі в демонстраційному варіанті іспиту зустрічаються також в завданні 13. Однак в перше завдання винесені найбільш прості з них - ті, вирішувати які в звичайному життідоводиться мало не щодня.
Розберемо кілька таких завдань з банку завдань ФІПІ, послідовно розглядаючи наступні їх типи:

Це завдання присвячено вмінню використовувати математичні знання в реальному житті. Описувати за допомогою функцій, таблиць і графіків різні залежності між величинами і інтерпретувати їх; витягувати інформацію, представлену в таблицях, на діаграмах, графіках.

На малюнку точками показана середня температура повітря в Сочі за кожен місяць 1920 р По горизонталі вказані номери місяців; по вертикалі - температура в градусах Цельсія. Для наочності точки з'єднані лінією.

Скільки місяців середня температура була більше 18 градусів Цельсія?

У минулі роки на перевірку таких умінь було два завдання. В одному з них акцент був на графічних елементах (діаграмах, графіках), у другому - на таблицях. З 2016 року для профільного рівня обидві теми поєднані в одному завданні. При цьому виключені ті завдання, в яких для аналізу табличних даних потрібно відносно великий обсяг простих обчислень, а саме підсумовування декількох десяткових чисел в стовпчик. Зроблено це для того, щоб дозволити іспитів більш раціонально використовувати свій час - менше затратити на прості завданняі більше на завдання підвищеного і високого рівнівскладності.

На картатій папері з розміром клітини 1 см × 1 см зображений трикутник.

Знайдіть його площу. Відповідь дайте у см 2.

Освітній стандарт має на увазі, що випускник середньої школиповинен:
- Вміти виконувати дії з геометричними фігурами, координатами і векторами.
- Вирішувати планіметричних завдання на знаходження геометричних величин (довжин, кутів, площ).

завдання 3 присвячена перевірці цих умінь, тобто це задача по планіметрії . Нагадаю, планіметрії називаютьчастина елементарної геометрії, в якій вивчаються властивості фігур, що лежать в площині. Планиметрия - частина курсу геометрії в середній школі. Інша її частина, в якій розглядаються просторові фігури, називається стереометрії. У частині завдань з короткою відповіддю їй присвячено завдання 8.

Для вирішення завдання 3, безумовно, потрібно повторити

• визначення і властивості геометричних фігур , Які ви вивчали в школі, а також
• основні формули з курсу планіметрії.

Формули площ прямокутника, трикутника, чотирикутників, необхідні для вирішення великої частини завдань 3-го завдання, можна повторити прямо зараз, перейшовши на сторінку цього сайту за посиланням

У демонстраційному варіанті ЄДІ профільногорівня є ще одне завдання на планиметрию (в 2018 році його номер 6). Безумовно, тематика цих завдань частково перетинається. Для підготовки до завдання 3 я пропоную розглянути наступні типи завдань:

Завдання на формули площі. Завдання на площу фігури на картатій папері. Завдання на площу фігури на координатної площині. Завдання на поняття координатної площини. Завдання на вектора.

Однак частина з них в реальному варіантіВам може зустрітися вже під іншим номером.

Рішення більшості завдань 3 тимчасово приховані. Вони завантажуються на сторінку пізніше, після того, як ви натиснете відповідні кнопки-посилання. Однак будьте уважні, в рішеннях задач часто зустрічаються малюнки Flashі JavaScript.

У збірнику квитків по біології всього 25 квитків. Тільки в двох квитках зустрічається питання про грибах. На іспиті школяру дістається один випадково обраний квиток з цієї збірки. Знайдіть ймовірність того, що в цьому квитку буде питання про грибах.

Відповідь: 0,08

Освітній стандарт має на увазі, що випускник середньої школи повинен:
- Вміти будувати і досліджувати найпростіші математичні моделі.
В даному випадку мова йдепро моделювання випадкових явищ. Саме про використання елементів теорії ймовірностей при вирішенні прикладних задач.

Для вирішення більшості завдань 4-го завдання досить повторити класичне визначенняймовірності події : Ймовірністю події А називається дріб P (A) = m / n , В чисельнику якого стоїть число m елементарних подій, сприяють події А, а в знаменнику n - число всіх елементарних подій.

Згадаймо, що елементарними називаються події, які попарно несумісні і рівноможливими. В інших підручниках вони ж називаються наслідками випробування.

Таким чином, з точки зору математичних операцій це завдання вирішується в одну дію, вона гранично проста.
І в той же час досить важка, тому що вимагає дуже уважно розібрати "побутову" ситуацію, задану в умові, щоб

• виявити елементарні події,
• виділити сприятливі,
• не пропустити жодного з усіх можливих результатів
• і не включити жодного зайвого.

Навчитися цьому можна тільки в процесі вирішення завдань, поступово переходячи від зовсім простих до більш складним.
Спробуйте вирішити кілька завдань в такому порядку. Якщо ви все-таки відчуваєте труднощі при підрахунку числа елементарних подій (можливих результатів, варіантів розвитку і т.п.), повторіть розділ математики, званий комбінаторикою. Для цього можна пройти по посиланнях і

Знайдіть корінь рівняння 3 x − 5 = 81 .

Освітній стандарт має на увазі, що випускник середньої школи повинен:
- Вміти вирішувати раціональні, ірраціональні, показникові, тригонометричні і логарифмічні рівняння, їх системи.

завдання 5 присвячено вирішенню простих рівнянь. Тобто рівнянь з однією змінною, як правило, позначеної символом х, Для вирішення яких не потрібно значних алгебраїчних перетворень.

Випускник середньої школи повинен вміти моделювати реальні ситуації на мові геометрії, будувати і досліджувати моделі з використанням геометричних понять і теорем, вирішувати практичні завдання, пов'язані з перебуванням геометричних величин (довжин, кутів, площ). Контролю цих умінь присвячено завдання 6 . Ще одне завдання по планіметрії.

трикутник ABCвписаний в коло з центром O. кут BACдорівнює 32 °. Знайдіть кут BOC. Відповідь дайте у градусах.

Щоб успішно впоратися з цим завданням повторіть визначення і властивості наступних плоских фігур

1. трикутник
2. Чотирикутники, зокрема, паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція.
3. Багатокутники, зокрема, правильні багатокутники.
4. Коло і круг, в тому числі, вписані і описані окружності багатокутника.
5. Площа трикутника, паралелограма, трапеції, круга, сектора.

Швидко перевірити свої знання з цих тем, Ви можете
Повторити формули для площ плоских фігур можна

На малюнку зображений графік функції, що диференціюється y = f(x). На осі абсцис відзначені дев'ять точок: x 1 , x 2 , ..., x 9 .

Знайдіть всі відмічені точки, в яких похідна функції f(x) Негативна. У відповіді вкажіть кількість цих точок.

Освітній стандарт має на увазі, що випускник середньої школи повинен вміти виконувати дії з функціями :
- визначати значення функції за значенням аргументу при різних способах завдання функції;
- описувати за графіком поведінку і властивості функцій;
- знаходити за графіком функції найбільші і найменші значення;
- будувати графіки вивчених функцій.

Велику роль в дослідженні функції грає її похідна.

завдання 7 перевіряє наскільки випускник знайомий з поняттям похідної функції, Геометричним і фізичний змістом похідної.

1. Завдання на визначення характеристик похідної за графіком функції.
2. Завдання на визначення характеристик функції за графіком її похідної.
Завдання на геометричний зміст похідної. Завдання на фізичний зміст похідної.

Рішення більшості завдань 7-го завдання тимчасово приховані. Вони завантажуються на сторінку пізніше, після того, як ви натиснете відповідні кнопки-посилання. Крім того, багато хто з завдань, а також деякі рішення містять малюнки. Дочекайтеся закінчення завантаження сторінки.

У першому циліндричній посудині рівень рідини досягає 16 см. Цю рідину перелили в другій циліндричну посудину, діаметр основи якого в 2 рази більше діаметра підстави першого. На якій висоті буде перебувати рівень рідини в другому посудині? Відповідь висловіть в см.

Освітній стандарт має на увазі, що випускник середньої школи повинен:
- Вміти вирішувати найпростіші стереометричні завдання на знаходження геометричних величин (довжин, кутів, площ, обсягів), використовувати при вирішенні стереометричних задач планіметричних факти і методи.

У завданні 8 дійсно розглядаються тільки найпростіші просторові тіла , Якщо паралелепіпед, то прямокутний, якщо піраміда, то правильна. У цих випадках завдання легко зводиться до планіметрії.

Розглянемо кілька задач з федерального банку завдань, згрупувавши їх за типами тел.Одновременно повторимо властивості цих тіл .

Рішення більшості завдань 8-го завдання тимчасово приховані. Вони завантажуються на сторінку пізніше, після того, як ви натиснете відповідні кнопки-посилання. Однак будьте уважні, в рішеннях задач часто зустрічаються малюнки , Дочекайтеся їх повного завантаження. Якщо щось не завантажується, перевірте, чи дозволені у Вашому браузері Flashі JavaScript.

Знайдіть sin 2α, якщо cos α = 0,6 і π

Відповідь: -0,96

У цьому завданні потрібно вміти виконувати обчислення і перетворення. Набір завдань на цю тему в банку завдань ЄДІ дуже широкий і різноманітний: від суто арифметичних операцій до ступенів з раціональними показниками та логарифмів. Дуже істотною підмогою при вирішенні більшості цих завдань буде знання формул скороченого множення. Не завадить також повторити, властивості ступенів і логарифмів, визначення модуля (абсолютної величини) числа.

Це завдання перевіряє Ваше вміння вирішувати прикладні завдання, в тому числі соціально-економічного і фізичного характеру. В цілому, алгоритм її вирішення нескладний - потрібно акуратно підставити задані числа в формулу, привести подібні члени, якщо вони є, потім вирішити рівняння, в якому в якості невідомої величини виступає шуканий параметр. Помилки можуть бути пов'язані, в першу чергу, з неуважним читанням умови задачі, а також зі "складністю" рішення рівнянь і нерівностей в незвичних для математики позначеннях змінних і невідомої величини.

Локатор батискафа, рівномірно занурюється вертикально вниз, випускає ультразвукової сигнал частотою 749 МГц. Приймач реєструє частоту сигналу, відбитого від дна океану. Швидкість занурення батискафа (в м / с) і частоти пов'язані співвідношенням

v = c · f − f 0 ____ f + f 0 ,

де c= 1500 м / с - швидкість звуку у воді; f 0 - частота випускається сигналу (в МГц); f- частота відбитого сигналу (в МГц). Знайдіть частоту відбитого сигналу (в МГц), якщо батискаф занурюється зі швидкістю 2 м / с. Відповідь: 751

Для отримання правильних відповідей також необхідно потренувати перетворення виразів, що включають арифметичні операції. На жаль, в задачах цього типу арифметичні помилки зустрічаються не рідше, ніж логічні.

Навесні катер йде проти течії річки в 1 2 _ 3 рази повільніше, ніж за течією. Влітку протягом стає на 1 км / год повільніше. Тому влітку катер йде проти течії в 1 1 _ 2 рази повільніше, ніж за течією. Знайдіть швидкість течії навесні (в км / год).

завдання 11 , Як і завдання 1 є текстової завданням на застосування математичних методів для вирішення змістовних завдань з різних областей науки і практики. Простіше кажучи, на застосування математики в різних життєвих ситуаціях, тільки трохи більше складних, ніж в попередньому випадку. Тому до розгляду цього виду завдань слід приступати тільки після того, як розібрані всі типи завдання 1.

Складність ситуацій полягає найчастіше в тому, що кінцеві (спостерігаються) результати будь-якого процесу відомі краще, ніж початкові умови. У таких випадках зазвичай використовують позначення невідомих початкових величин символами і зводять задачу до вирішення алгебраїчних рівнянь або систем рівнянь.

Отже, освітній стандартмає на увазі, що випускник середньої школи повинен вміти:
- Моделювати реальні ситуації на мові алгебри, складати рівняння і нерівності за умовою задачі; досліджувати побудовані моделі з використанням апарату алгебри.

При підготовці до іспиту потрібно повторитинаступні теми:

• Равносильность рівнянь, систем рівнянь.
• Методи вирішення раціональних рівнянь.
• Методи рішення систем рівнянь.
• Інтерпретація результату, облік реальних обмежень.

Набір завдань завдання 11 на офіційному сайті ФІПІ дуже різноманітний. Є завдання на рух, на течію річки, на відсотки, на середню швидкість, На розчини і сплави, на продуктивність праці і "продуктивність труби" ... Але мені не хотілося б класифікувати їх таким чином. Це робилося в молодших і середніх класах, коли у вас було менше життєвого досвідуі зовсім не було уявлень про те, як формалізувати ситуацію, описану в умові завдання. Тепер ви стали старше, деякі навички у вас вже відклалися глибоко в підсвідомості, тому не треба намагатися згадати дослівно і добуквенного, наприклад, методи вирішення задач на рух, треба прагнути скласти вирішуване рівняння або систему, спираючись на все те, що ви знаєте про рух з фізики, математики, свого досвіду ...

Класифікувати за методами вирішення теж марно. Такі завдання вирішуються найрізноманітнішими способами. Все, що можна вирішити системою, можна вирішити і одним рівнянням. Все, що можна вирішити рівнянням, можна вирішити і без нього. Все, що можна вирішити коротко, можна вирішити довго, і наоборот.x + 7.

Відповідь: -5

Якщо ви вже вирішували завдання 7, то переконалися, що похідна характеризує вид (зростання або спадання) і швидкість зміни функції.
Тому похідна широко використовується для визначення таких характеристик функції, як її екстремуми.
Згадаймо, що термін "екстремум" об'єднує поняття максимум і мінімум функції. (Прислухайтеся до слів диктора, коли він читає прогноз погоди. Якщо мова йде про екстремальних температурах взимку, ми розуміємо, що буде сильний мороз. Але якщо це відбувається влітку, то чекаємо дуже спекотних днів.)

Темі знаходження екстремумів і присвячена задача 12 ЄДІ 2018 з математики профільного рівня . Технічно всі варіанти цього завдання вирішуються однаково:
- потрібно знайти похідну функції,
- потім критичні точки похідною, тобто ті значення аргументу, при яких похідна дорівнює 0 або не існує,
- і, нарешті, визначити знаки похідної в околиці критичних точок, Щоб переконатися в тому, що екстремуми існують і визначити їх вид.

Як реалізується цей алгоритм, можна подивитися, наприклад,

Не забудьте повторити основні елементарних функцій, а також які бувають при обчисленні похідної і способами боротьби з ними.

Однак на іспиті будьте дуже уважні до формулювання питання завдання. Є істотні відмінності в поняттях - точка екстремуму, значення екстремуму і найбільше або найменше значення функції на відрізку.

Перейти до вирішення завдань:

Задачі на знаходження точок екстремуму функції.
Задачі на знаходження екстремумів функції.
Завдання на визначення найбільшого (найменшого) значення функції на відрізку.

ознайомтеся з Демонстраційними варіантами ЄДІ 2018 з математики.

Завдання профільного рівня, як і раніше, розділені на дві частини. Перша за складністю приблизно така ж, як в базовому варіанті, друга містить завдання підвищеного і високого рівнів складності.
Всього демонстраційний варіант 2018 року містить у 19 завдань: завдання 1-8 базового рівня складності з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу, завдання 9-12 підвищеного рівня складності з короткою відповіддю такого ж виду, завдання 13-19 підвищеного і високого рівнів складності з розгорнутою відповіддю.

Тут ви можете потренувати рішення завдань профільного рівня з короткою відповіддю .

Щоб ознайомитися зі змістом іспиту базового рівня, перейдіть на сторінку з інтерактивною.
Щоб потренувати рішення завдань профільного рівня з розгорнутою відповіддю, перейдіть до розділу

вибравши номер завдання на вкладці зліва, ознайомтеся з прикладом цього завдання з Демонстраційного варіанти ЄДІз математики 2018 року. Прочитайте якого типу це завдання, яких тем воно присвячено і що потрібно повторити. Не забувайте, що завдання демонстраційного варіанта не відображають всіх можливих питань змісту екзаменаційного варіанти . Щоб ознайомитися з прикладами аналогічних завдань, які давалися на іспитах минулих років і можуть бути включені в екзаменаційні матеріали в 2018 році, знайдіть потрібний розділ в змісті тематики завдань і перейдіть за посиланням.

У всіх розділах завдання забезпечені відповідями та рішеннями. Однак у більшості завдань рішення тимчасово приховано і завантажується окремо для кожного завдання послідовним натисканням кнопок на жовтому тлі. Не потрібно поспішати дивитися готове рішення! для більш ефективної підготовкиспочатку постарайтеся вирішити задачу самостійно, і тільки потім можна натиснути зелену кнопку, щоб порівняти відповідь, і жовту, щоб розкрити моє рішення. Якщо ваше рішення не збігається з моїм, воно не обов'язково є неправильним. Хід міркувань може бути різним, головне, щоб він приводив до вірного відповіді. Не забувайте - в перших 12 завданнях ЄДІ 2018 перевіряються тільки відповіді.

Здамо ЄДІ з математики? Легко!

Автор БагменоваТ. А. учитель математикиМБОУ ЗОШ № 14 м Новочеркаська Ростовської області.

При вирішенні завдань на застосування похідної при підготовці до ЄДІ зустрічається велике розмаїттязавдань, що наштовхує на необхідність розбити завдання на групи супроводивши теоретичним матеріаломпо темі «Похідна».

Розглянемо приклади завдань № 7 по темі «Похідна» профільного рівня з математики, розбивши їх на групи.

1 . Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [ a ; b ] І диференційована на інтервалі (a; b). Тоді якщо похідна функції більше нуля для всіх x належать [ a ; b ], То функція зростає на [ a ; b ], А якщо похідна функції менше нуля, то вона зменшується на цьому відрізку.

приклади:

1)

Рішення.

В точках і точках функція спадає, отже похідна функції в цих точках негативна.

Відповідь: 2.

2)

Рішення.

На проміжках (-2; 2), (6; 10) похідна функції негативна, отже функція на цих проміжках убуває. Довжина і того і іншого проміжку 4.

Відповідь: 4.

3)

Рішення.

На відрізку похідна функції позитивна, отже функція на цьому проміжку зростає, отже найменше значення функція приймає в точці 3.

Відповідь: 3.

4)

Рішення.

На відрізку [-2; 3] похідна функції негативна, отже функція на цьому проміжку зменшується, отже найбільше значення функція приймає в точці -2.

Відповідь: -2.

2 . Якщо в точці похідна функції змінюється знак з «-» на «+», то це точка мінімуму функції; якщо в точці похідна функції змінюється знак з «+» на «-», то це точка максимуму функції.

приклад:

Рішення.

У точці х = 3; х = 13 похідна функції змінюється знак з «-» на «+», отже це точки мінімуму функції.

Відповідь: 2.

3. Умова ( x ) = 0 є необхідною умовою екстремуму диференційованої функції f ( x ). Так як в точках перетину графіка похідної функції з віссю Ох похідна функції дорівнює нулю, то дані точки є точками екстремуму.

приклад:

Рішення.

Точок перетину графіка похідної функції з віссю Ох на заданому відрізку 4, отже точок екстремуму 4.

Відповідь: 4.

4 . Похідна функції дорівнює нулю в точках екстремуму функції. У цьому завданню це точки де функція переходить з зростання на зменшення або навпаки.

приклад:

Рішення.

У точках похідна дорівнює нулю.

Відповідь: 4.

5. Знайти значення похідної функції в точці, це означає знайти тангенс кута нахилу дотичної до осі Ох або до прямої паралельної осі Ох. Якщо кут нахилу дотичній до осі Ох гострий, то тангенс кута позитивний, якщо кут нахилу дотичній до осі Ох тупий, то тангенс кута негативний.

приклад:

Рішення.

Побудуємо прямокутний трикутник, у якого гіпотенуза буде лежати на дотичній, а один з катетів лежить на осі Ох або на прямий паралельної осі Ох, потім порахуємо довжини катетів і обчислимо тангенс гострого кута прямокутного трикутника. Протилежний катет дорівнює 2, прилегла катет дорівнює 8, отже тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнює 0,25. Кут нахилу дотичній до осі Ох тупий, отже тангенс кута нахилу касасательной негативний, отже значення похідної функції в точці дорівнює -0,25.

Відповідь: - 0,25.

6. 1) Кутові коефіцієнти паралельних прямих рівні.

2) Значення похідної функції f ( x y = f ( x ) В точці (; f ()).

Приклад.

Рішення.

Кутовий коефіцієнт прямої дорівнює 2. Так якзначення похідної функціїf( x) В точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функціїy= f( x) В точці (;f()), То знайдемо точки, в яких похідна функціїf( x) Дорівнює 2.Таких точок на даному графіку 4. Отже кількість точок в яких дотична до графіка функціїf( x) Паралельна даній прямій або збігається з нею так само 4.

Відповідь: 4.

Використовувана література:

Колягин Ю. М., Ткачова М. В., Федорова Н. Е. та ін. Алгебра і початки математичного аналізу (базовий і поглиблений рівень). 10 кл. - Просвітництво. 2014 р

ЄДІ: 4000 завдань з відповідями з математики. Всі завдання «Закритий сегмент». Базовий і профільний рівень. За редакцією І. В. Ященко.- М .: Видавництво «Іспит», - 2016.-640с.